Logarithmus dualis ohne Taschenrechner berechnen

Question

Aufgabe:

Wie kann ich -log₂ (1/6) ohne Taschenrechner brechnen?

Answer 1

Hallo Gucki,

Wenn Du auch keinen Rechenschieber benutzen willst, so kannst Du es auch so machen, wie vor 100 und mehr Jahren. Man kann alles auf die vier Grundrechenarten zurück führen. Erstelle Dir eine Logarithmentabelle. Das geht z.B. so:

In unserer Tabelle kommen in die erste Spalte die natürlichen Zahlen, beginnend nit der $0$. Dann wähle eine Zahl nur wenig größer als $1$, mit der man sehr einfach (ohne TR) beliebig stellige Zahlen multiplizieren kann. Zum Beispiel $1,1$. Die Zahl $1,1$ wird unsere erste Basis. Mit der füllen wir die zweite Spalte, indem wir neben die $0$ eine $1$ schreiben und neben die $1$ (der ersten Spalte) die Zahl selbst. Alle folgenden Felder der zweiten Spalte werden mit dem Produkt aus der Zeile darüber und eben der $1,1$ gefüllt.

$$\begin{array}{r|rr} \log_{1,1}(x)& x& \log_2(x) \\ \hline 0& 1,0000& 0 \\ 1& 1,1000 \\ 2& 1,2100 \\ 3& 1,3310 \\ 4& 1,4641 \\ 5& 1,6105 \\ 6& 1,7716 \\ 7& 1,9487 \\ 8& 2,1436 \\ 7,2632& 2,0000& 1\\ \end{array}$$Das macht man so lange, bis man in der zweiten Spalte die gewünschte Basis, also hier die $2$ erreicht. Nun steht in der zweiten Spalte ein $x$ und in der ersten der Logarithmus zur Basis $1,1$ von $x$. Alles klar bis dahin?

Anschließend fügen wir noch eine Zeile hinzu und schreiben in die zweite Spalte den Wert der Basis - die $2$ und interpolieren nun den Wert für $\log_{1,1}(2)$ zwischen den Werten $7$ und $8$. Für alle Rechnereien gilt natürlich, dass man schon geeignet rundet. Hier auf vier Naschkommastellen.

In der dritten Spalte folgt nun der Logarithmus Dualis für unsere $x$-Werte in der Tabelle. Für $x=1$ und $x=2$ können wir sie gleich eintragen (s.o.) und für die anderen gilt:$$\log_2(x) = \log_{1,1}(x) \cdot \frac 1{\log_{1,1}(2)} \approx \log_{1,1}(x) \cdot 0,13768$$Der Faktor $0,13768$ berechnet sich aus der Inversen von $\log_{1,1}(2) \approx 7,2632$. Und damit füllen wir die dritte Spalte

$$\begin{array}{r|rr}\log_{1,1}(x)& x& \log_2(x) \\ \hline 0& 1,0000& 0\\ 1& 1,1000& 0,13768\\ 2& 1,2100& 0,2754\\ 3& 1,3310& 0,4130\\ 4& 1,4641& 0,5507\\ 5& 1,6105& 0,6884\\ 6& 1,7716& 0,8261\\ 7& 1,9487& 0,9638\\ 8& 2,1436& 1,1014\\ 7,2632& 2,0000&1 \end{array}$$Jetzt gilt das natürlich nur für Werte $1 \le x \le 2$. Dazu wandeln wir den Ausgangsterm etwas um:$$- \log_2\left( \frac 16 \right) = -\log_2\left( \frac 43 \cdot 2^{-3}\right) = -\log_2\left( 1,\overline{3}\right) + 3$$Und nun berechnet man den Wert für $\log_2(1,\overline 3)$ durch Interpolation aus der Tabelle:$$\begin{aligned} \log_2(1,\overline 3) &\approx 0,4130 + (0,5507-0,4130)\frac{1,333 - 1,3310}{1,4641 - 1,3310} \\ &\approx 0,415 \end{aligned}$$ und damit ist$$- \log_2\left(\frac 16\right) \approx -0,415 + 3 = 2,585$$Gruß Werner

Answer 2

Gar nicht. Du kannst diesen Wert etwas klarer als log ₂ 6 schreiben, du kannst diesen Wert mit

2< log ₂ 6 <3  abschätzen (eventuell auch mit  2,5< log ₂ 6 <3), das war es dann aber fast.

Eventuelle Näherungsverfahren benötigen ja auch technische Rechenhilfen.

Comments

... das war es dann aber fast.
Eventuelle Näherungsverfahren benötigen ja auch technische Rechenhilfen.

Es geht natürlich auch mit der Formel

$log_2(x)=\dfrac{lg(x)}{lg(2)}$             [ lg ≡ log₁₀ ]

und einer Logarithmentafel für Zehnerlogarithmen.

Answer 3

Wie kann ich -log2 (1/6) ohne Taschenrechner berechnen?

Du kannst das etwas umformen zu

-log₂ (1/6)  = log₂ (6) = log₂ (2*3) =  log₂ (2)  +  log₂ (3) =  1 +  log₂ (3) .

Weiter sehe ich da nicht mehr viel, es sei denn, du brauchst nur eine

Information, etwa über die erste Nachkommastelle oder so.

Answer 4

-log₂ (1/6)=log₂ (1/6)^-1 =log₂ (6), also 2^x=6. x liegt zwischen 2 und 3. Weiter einschachteln bis x≈2,5.