Zeigen Sie, dass (R_1 × R_2, ⊕, ⊙) ein Ring ist.

Question

Aufgabe:

Seien \( \left(R_{1},+_{1}, \cdot 1\right) \) und \( \left(R_{2},+_{2}, \cdot 2\right) \) zwei Ringe. Wir definieren \( \left(R_{1} \times R_{2}, \oplus, \odot\right) \) mit den komponentenweisen Verknüpfungen \( \oplus:\left(R_{1} \times R_{2}\right) \times\left(R_{1} \times R_{2}\right) \rightarrow\left(R_{1} \times R_{2}\right) \) und \( \odot:\left(R_{1} \times R_{2}\right) \times\left(R_{1} \times R_{2}\right) \rightarrow\left(R_{1} \times R_{2}\right) \) wie folgt:
\( \left(r_{1}, r_{2}\right) \oplus\left(r_{1}^{\prime}, r_{2}^{\prime}\right)=\left(r_{1}+{ }_{1} r_{1}^{\prime}, r_{2}+{ }_{2} r_{2}^{\prime}\right) \text { und }\left(r_{1}, r_{2}\right) \odot\left(r_{1}^{\prime}, r_{2}^{\prime}\right)=\left(r_{1} \cdot{ }_{1} r_{1}^{\prime}, r_{2} \cdot{ }_{2} r_{2}^{\prime}\right) \)
für alle \( \left(r_{1}, r_{2}\right),\left(r_{1}^{\prime}, r_{2}^{\prime}\right) \in R_{1} \times R_{2} \).

Zeigen Sie, dass (R_1 × R_2, ⊕, ⊙) ein Ring ist.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Du kannst die Gültigkeit der Ring-Axiome nachweisen indem

du sie auf die Gültigkeit in den einzelnen Ringen zurückführst.

Z.B. Assoziativität der Addition:

Zu zeigen: Für alle \(  \left(r_{1}, r_{2}\right) , \left(s_{1}, s_{2}\right) , \left(t_{1}, t_{2}\right) \in  \left(R_{1} \times R_{2}\right) \)  gilt

\( (  \left(r_{1}, r_{2}\right)  \oplus  \left(s_{1}, s_{2}\right)  )   \oplus \left(t_{1}, t_{2}\right)  =    \left(r_{1}, r_{2}\right)  \oplus ( \left(s_{1}, s_{2}\right)  \oplus \left(t_{1}, t_{2}\right) )\)

Dazu musst du nur die Def. der Addition anwenden, etwa so:

\( (  \left(r_{1}, r_{2}\right)  \oplus \left(s_{1}, s_{2}\right)  )  \oplus \left(t_{1}, t_{2}\right)=\left(r_{1}+{ }_{1}  s_{1}, r_{2}+{ }_{2}  s_{2}\right) \oplus \left(t_{1}, t_{2}\right) \)

\( =  \left((r_{1}+{ }_{1} s_{1}) +{ }_{1} t_1  , ( r_{2}+{ }_{2} s_{2}) +{ }_{2} t_{2} \right) \)

Wegen der Assoziativität von \( +{ }_{1}  \)   und \( +{ }_{2}  \)

(Die gilt ja, weil  \( R_{1}  \)  und  \( R_{2}  \) Ringe sind.)  gibt das

\( =  \left(r_{1}+{ }_{1} (s_{1} +{ }_{1} t_1 ) ,  r_{2}+{ }_{2} (s_{2} +{ }_{2} t_{2}) \right) \)

Und wieder Die Def. von \( \oplus \) anwenden, gibt :

\(  =    \left(r_{1}, r_{2}\right)  \oplus (s_{1} +{ }_{1} t_1  ,s_{2} +{ }_{2} t_{2}  )\)

und nochmal die Def. gibt

\( =    \left(r_{1}, r_{2}\right)  \oplus ( \left(s_{1}, s_{2}\right)  \oplus \left(t_{1}, t_{2}\right) )\)

q.e.d.

In der Art klappen auch die Nachweise der Gültigkeit der anderen Axiome.