Aufgabe zu Häufungspunkten und Beschränktheit

Question

Aufgabe:

Seien (a_n)n∈N eine Folge und a ∈ R. Zeigen Sie:
(a) Gilt a_n → a, n → ∞, so ist a der einzige Häufungspunkt von (a_n)n∈N.
(b) Ist (a_n)n∈N beschränkt und der einzige Häufungspunkt ist a, so gilt a_n → a, n → ∞.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz für A war zu sagen, dass wenn a_n einen Häufungspunkt haben soll auch alle Teilfolgen b_n = a_nk  nur einen GW haben dürfen (a), wobei man dann mit der Zugehörigkeit von k zu N begründen kann, dass k•∞ immer noch unendlich ist und somit a_nk –> a,n → ∞. Somit hätten alle Teilfolgen auch den Häufungspunkt a und somit wäre a auch der einzige Häufungspunkt von a_n.

Geht das soweit für A)?

Für B hätte ich leider keinen Ansatz, könnte mir jemand helfen?

Answer 1

a) Arbeite mit einem Widerspruchbeweis und nimm an, es gäbe einen weiteren Häufungspunkt ungleich a. Dann klappt das mit der Teilfolge und führt zum Widerspruch, da Grenzwerte eindeutig sind.

b) Hier hilft der Satz von Bolzano-Weierstrass. Dann geht auch das mit einen Widerspruchbeweis, wenn man annimmt der Grenzwert wäre nicht a. Dann gibt es eine Teilfolge, die unbeschränkt ist.