Welcher Funktionsgraph ist Graph der Integralfunktion?

Question

Aufgabe:

b) Gegeben ist die Berandungsfunktion f(x) =-x (x - 2)(x- 5). Welche der eingezeichneten Funktionsgraphen g, h und k könnten der Graph der Integralfunktion
I, (x) sein? Begründen Sie Ihre Entscheidung.

Problem/Ansatz:

Ich würde sagen es ist der Graph h, Weil dort die Nullstellen übereinstimmen. Ist das richtig und die Erklärung so ausreichend genug?

Answer 1

Hallo,

Weil dort die Nullstellen übereinstimmen. Ist das richtig

Nein.

An den Nullstellen von $f$ muss die Stammfunktion $F$ eine waagerechte Steigung haben, also im Allgemeinen ein Minimum, Maximum oder einen Sattelpunkt. Es gilt:$$f(x) = 0 \implies F'(x)= 0$$

Diese Bedingung trifft nur bei $g$ und $h$ zu. Wenn das Integral in dem blau markiertem Bereich gemeint ist, so muss die dazugehörige Integralfunktion $I$ am Anfang des blauen Intervalls den Wert 0 haben. Damit bleibt dann nur $g$ übrig.

Stammfunktion $F$ und Integralfunktion $I$ unterscheiden sich nur durch eine Konstante d.h. durch eine Verschiebung in Y-Richtung. Die Steigung ist davon unabhängig.

Hier noch mal zur Anschauung: Die Integralfunktion (der blaue Graph) gibt die Größe der Fläche unter $f$ beginnend bei der unteren Grenze $x_a = 1$ an. Eine Fläche unter der X-Achse zählt dabei negativ.

Dort wo $f$ (rot) den Wert $0$ hat, ändert sich die Fläche nicht, folglich hat dort $I$ eine waagerechte Tangente (Steigung=0)

Gruß Werner

Comments

Antwort vervollständigt und erweitert.

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Vielen Dank für die Hilfe und ausführliche Erklärung.

Answer 2

Die blau unterlegte Fläche entsprich etwa der Funktion g.