Hallo,
Weil dort die Nullstellen übereinstimmen. Ist das richtig
Nein.
An den Nullstellen von \(f\) muss die Stammfunktion \(F\) eine waagerechte Steigung haben, also im Allgemeinen ein Minimum, Maximum oder einen Sattelpunkt. Es gilt:$$f(x) = 0 \implies F'(x)= 0$$
Diese Bedingung trifft nur bei \(g\) und \(h\) zu. Wenn das Integral in dem blau markiertem Bereich gemeint ist, so muss die dazugehörige Integralfunktion \(I\) am Anfang des blauen Intervalls den Wert 0 haben. Damit bleibt dann nur \(g\) übrig.
Stammfunktion \(F\) und Integralfunktion \(I\) unterscheiden sich nur durch eine Konstante d.h. durch eine Verschiebung in Y-Richtung. Die Steigung ist davon unabhängig.
Hier noch mal zur Anschauung: Die Integralfunktion (der blaue Graph) gibt die Größe der Fläche unter \(f\) beginnend bei der unteren Grenze \(x_a = 1\) an. Eine Fläche unter der X-Achse zählt dabei negativ.
https://www.desmos.com/calculator/etfvbfhqfq
Dort wo \(f\) (rot) den Wert \(0\) hat, ändert sich die Fläche nicht, folglich hat dort \(I\) eine waagerechte Tangente (Steigung=0)
Gruß Werner
