Zeige, dass (a_n) konvergiert und bestimme den Grenzwert.

Question

Aufgabe: Folge \( (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \) ist definiert durch \(a_n :=1+q+q^2+\ldots +q^n \) wobei \(q \in \mathbb{K},0 \lt q \lt 1 \). Zeige, dass \((a_n) \) konvergiert und bestimme den Grenzwert.

Problem/Ansatz: Mir ist der Grenzwert klar, nur nicht der Beweis über die Konvergenz. Ich bitte um eure Hilfe.

Comments

Wenn Dir der Grenzwert klar ist, was ist denn der Grenzwert?

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Der Grenzwert ist ein Punkt, der ab einem bestimmtem Folgenglied, beliebig viele Folgengleider an diesen Punkt a annähern lässt innerhalb der Epsilon-Umgebung.

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https://www.michael-holzapfel.de/themen/grenzwert/geoReihe/geo_Reihe.htm

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Dan9: Meine Frage zielte darauf ab, ob Du weißt, dass der Grenzwert der Reihe 1/(1-q) ist.

Im übrigen ist Deine Grenzwert Definition falsch: Es sind nicht beliebig viele sondern alle Folgen Glieder ab einem Grenz Index die in der epsilon- Umgebung liegen müssen

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Hallo Mathhilf,

danke für deine Hilfe.

Nein, leider war mir die geometrische Reihe noch nicht bekannt. Vor kurzem habe ich etwas darüber gelesen. In Zukunft schreibe ich eben einfach die Summe um und fertig :)

Liebe Grüße

Answer 1

\(a_n :=1+q+q^2+\ldots +q^n =\frac{q^{n+1}-1}{q-1} \)

für n gegen unendlich geht \(    q^{n+1} \)  gegen 0.

Also GW \(  \frac{1}{1-q} \)