Ich bin mir unsicher wie ich die Konvergenz bestimme und habe bei folgender Aufgabe:
(n²+3)/((n+1)(n+7))
folgende Lösung:
$$ \lim \limits _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { n²+3 }{ (n+1)(n+7) } } = \quad \lim \limits _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { n²(1+\frac { 3 }{ n² } ) }{ n²+8n+7 } } \\ = \lim \limits _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { n²(1+\frac { 3 }{ n² } ) }{ n²(1+\frac { 8 }{ n } +\frac { 7 }{ n² } ) } } = \quad \lim \limits _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1+\frac { 3 }{ n² } }{ 1+\frac { 8 }{ n } +\frac { 7 }{ n² } } } \\ = \quad \frac { \lim \limits _{ n\rightarrow \infty }{ 1 } +\lim \limits _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 3 }{ n² } } }{ \lim \limits _{ n\rightarrow \infty }{ 1 } +\lim \limits _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 8 }{ n } } +\lim \limits _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 7 }{ n² } } } \\ = \quad \frac { 1+0 }{ 1+0+0 } \quad = \quad \frac { 1 }{ 1 } \quad = \quad 1 $$
Stimmt das so?
Und zweite Frage: Reicht das oder muss ich noch nachweisen das konvergiert mit der Formel:
$$\left|\frac { n²+3 }{ (n+1)(n+7) } -1\right|<E \quad $$
und wie kann ich diesen Teil dann berechnen?