Bestimme ob die Folge konvergiert, wenn ja berechne den Grenzwert. a_n:= (n²+3)/((n+1)(n+7))

Question

Ich bin mir unsicher wie ich die Konvergenz bestimme und habe bei folgender Aufgabe:

(n²+3)/((n+1)(n+7))

folgende Lösung:

$$ \lim \limits _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { n²+3 }{ (n+1)(n+7) }  } = \quad \lim \limits _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { n²(1+\frac { 3 }{ n² } ) }{ n²+8n+7 }  } \\ = \lim \limits _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { n²(1+\frac { 3 }{ n² } ) }{ n²(1+\frac { 8 }{ n } +\frac { 7 }{ n² } ) }  } = \quad \lim \limits _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1+\frac { 3 }{ n² }  }{ 1+\frac { 8 }{ n } +\frac { 7 }{ n² }  }  } \\ = \quad \frac { \lim \limits _{ n\rightarrow \infty }{ 1 } +\lim \limits _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 3 }{ n² }  }  }{ \lim \limits _{ n\rightarrow \infty }{ 1 } +\lim \limits _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 8 }{ n }  } +\lim \limits _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 7 }{ n² }  }  } \\ = \quad \frac { 1+0 }{ 1+0+0 } \quad = \quad \frac { 1 }{ 1 } \quad = \quad 1 $$

Stimmt das so?

Und zweite Frage: Reicht das oder muss ich noch nachweisen das konvergiert mit der Formel:

$$\left|\frac { n²+3 }{ (n+1)(n+7) } -1\right|<E \quad $$

und wie kann ich diesen Teil dann berechnen?

Answer 1

Ja das ist alles richtig und auch sehr schön aufgeschrieben.

Comments

Ich habe noch eine zweite Frage dazugeschrieben und zwar brauche ich noch diese Formel? Und wenn ja, wie beweise ich sie:

$$ |\frac { n²+3 }{ (n+1)(n+7) } -1| \lt \epsilon $$

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Du brauchst das nicht mit der Formel nachweisen. Das langt wie du es getan hast über die Grenzwertsätze.

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wie würde denn das mit der Formel gehen? ich müsste irgendein passendes epsilon wählen oder? oder mache ich das noch bevor ich 1 als Grenzwert raushabe?