Konvergiert die Folge (an)n∈N? Wenn ja: Grenzwert? a_n := ^n√(n*3^n + 16n^4)

Question

Entscheiden Sie, ob die Folgen (an)n∈N konvergent sind, und berechnen Sie in diesem Fall den Grenzwert:

ich hab mal versucht aber keine Lösung zu finden. Konnen Sie mir diese Aufgabe mit Rechnensweg zeigen.?

a_n := ^n√(n*3^n + 16n^4) 

Comments

Für n gegen unendlich kommt 3 heraus.

Kontrolle mit https://www.wolframalpha.com/input/?i=(n*3%5En+%2B+16n%5E4)+%5E(1%2Fn)

Plausiblilität ungefähr so:

^n(3^n) = 3

Rechnen musst du aber doch noch.

Answer 1

( n * 3ⁿ  + 16*n⁴ )^1/n

= ( 3ⁿ * ( n +  16*n⁴ /3ⁿ ) )^1/n

= ( 3ⁿ )^1/n  * ( n +  16*n⁴ /3ⁿ ) ^1/n

 = 3 * ( n +  16*n⁴ /3ⁿ ) ^1/n

Die Klammer verhält sich wie  n-te Wurzel aus n, das geht gegen 1

also GW = 3.

Comments

ich verstehe noch nicht "Die Klammer verhält sich wie  n-te Wurzel aus n, das geht gegen 1" . konnen Sie deutiger zeigen. Danke

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also weil n -> unendlich geht. deswegen 1/n ist 0 dann die Klammer ist (....)^0 = 1 oder??

Answer 2

Das ist ein typischer Fall für Sandwich: $$n\cdot3^n<n\cdot3^n+16n^4<n\cdot3^n+n\cdot3^n\quad\text{fuer grosse $n$}.$$ An den Enden kann man jetzt bequem rechnen und braucht nur noch unmittelbar bekannte Grenzwerte. Schwammige Argumente sind nicht noetig. :)