Konvergiert die Folge (an)n∈ℕ? Wenn ja, was ist ihr Grenzwert: an=(x^n -n)/(x^n + n)...

Question

Entscheiden Sie, ob die Folge (a_n)_n∈ℕ konvergiert und berechnen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert:

$$a _ { n } = \frac { x ^ { n } - n } { x ^ { n } + n }$$

in Abhängigkeit von x > 0.

Answer 1

Falls 0<x<1

an=(xⁿ-n)/(x^n +n)

an = (x^n /n   -1) / (x^n /n + 1)

Limes n gegen unendlich : an -----> (0-1)/(0+1) = - 1

Falls x > 1

an=(xⁿ-n)/(x^n +n)

= (1 - n/x^n) / (1 + n/x^n)

Limes n gegen unendlich : an -----> (1-0)/(1+0) = 1

Falls x=1

an=(1ⁿ-n)/(1^n +n)

an = (1/n   -1) / (1/n + 1)

Limes n gegen unendlich : an -----> (0-1)/(0+1) = - 1