Hallo,
Könnten sie mir das vorrechnen ich habe es versucht aber kommt was anderes raus
Dann schimpft abakus, er mag das nicht, wenn man den Leuten ihre Hausaufgaben vorechnet, aber egal ;-)
Du hast - wie ich hier sehe - grundsätzliche Schwierigkeiten, solche Aufgabe überhaupt zu verstehen.
Zunächst mal was zur Erklärung: Wenn vom Skalarprodukt zweier Vektoren die Rede ist, dann rechnet man das wie folgt aus. Angenommen, da sind zwei Vektoren:$$a=\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}, \quad b=\begin{pmatrix}4\\ 5\\ 6\end{pmatrix}$$dann ist das Skalarprodukt$$a\cdot b = \begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\ 5\\ 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}&1\cdot 4\\ +& 2\cdot 5\\ +&3\cdot 6\end{pmatrix} = 4 + 10 + 18 = 32$$Wenn von einem Normalenvektor die Rede ist, dann ist der Vektor gemeint, der normal (also senkrecht) auf etwas steht.
Bei einer Ebene \(E\), die in dieser Form gegeben ist$$E:\quad \left[\vec{x}-\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 3\end{array}\right)\right] \cdot\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 2\end{array}\right)=0$$spricht man von der Normalenform einer Ebene. Und der Normalenvektor \(\vec{n}\) ist der Vektor, mit dem das \(\vec{x}\) multipliziert wird. Genauer: es wird das Skalarprodukt \(\vec{x} \cdot \vec{n}\) gebildet. Also ist hier $$\vec{n} = \left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 2\end{array}\right)$$ der Normalenvektor.
Aufgabe a)
Berechnen Sie den Schnittpunkt S ...
Ein Schnittpunkt (hier S) ist der Punkt, den Gerade und Ebene gemeinsam haben. D.h. es gib einen Wert für \(\vec x\), der beide Gleichungen erfüllt. Folglich setzt man das eine in das andere ein:$$\vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \quad E:\left[\vec{x}-\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 3\end{array}\right)\right] \cdot\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 2\end{array}\right)=0 \\ \begin{aligned} \left[\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 3\end{array}\right)\right] \cdot\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 2\end{array}\right)&=0\\ \left[\begin{pmatrix}-2 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}+r \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)\right] \cdot\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 2\end{array}\right)&=0\\ \begin{pmatrix}-2 \\ 0 \\ -1\end{pmatrix}\cdot\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 2\end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 2\end{array}\right)&=0\\ \begin{pmatrix}&-2\cdot 3 \\ +&0 \cdot 3 \\ +&(-1) \cdot 2\end{pmatrix}+r \cdot\begin{pmatrix}&1 \cdot 3 \\ +&1\cdot 3 \\ +&1 \cdot 2\end{pmatrix}&=0\\ (-6-2) + r\cdot(3+3+2) &= 0 \\ -8 +r\cdot 8 &=0 &&|\,+8 \\ 8r &= 8 &&|\,\div 8\\ r &= 1 \\ \end{aligned}$$Jetzt hat man noch nicht den Schnittpunkt S, sondern nur einen Wert für \(r\) aus der Geradengleichung. Dort setzt man das gefundenen \(r\) ein$$S = g(r=1) = \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 2\end{pmatrix} +\underbrace{1}_{=r} \cdot \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 3\end{pmatrix}$$
... und den Schnitt-winkel
Das hatte ich Dir schon erklärt, wie das geht. Zunächst den Winkel zwischen dem Normalenvektor \(\vec n\) der Ebene \(E\) und dem Richtungsvektor der Geraden \(g\) bestimmen:$$\cos\left(\alpha\right)=\frac{\vec r \cdot \vec n}{|\vec r|\cdot |\vec n|} = \frac{\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3\\ 3\\ 2\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}3\\ 3\\ 2\end{pmatrix}\right|} \\ \quad= \frac{3+3+2}{\sqrt{1^2+1^2+1^2} \cdot \sqrt{3^2+3^2+2^2} } = \frac{8}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{22}} = \frac{8}{\sqrt{66}} \\ \implies \alpha = \arccos\left(\frac{8}{\sqrt{66}}\right)\approx 10,0°$$und der Schnittwinkel \(\beta\) ist dieser Winkel von 90° abgezogen - also ist das Ergebnis $$\beta = 90° - 10° = 80°$$
Aufgabe b)
Hier ist die Ebene \(E\) in der Koordinatenform gegeben. Das ist aber nur eine andere Schreibweise für die Normalenform. Es gilt$$E:\quad -x+y+2 z=6 \\ \begin{aligned} \implies \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 2\end{pmatrix} &= 6 \\ \vec{x} \begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 2\end{pmatrix} &= 6 \end{aligned}$$D.h. der Normalenvektor \(\vec n\) der Ebene \(E\) setzt sich aus den Koeffizienten der Koordinatenform zusammen. Rechne doch mal das Skalarprodukt von \(\vec{x} \cdot \vec{n}\) aus, dann siehst Du es.
Der Rechenweg ist ab hier (fast) derselbe wie oben. Zunächst Einsetzen um das \(r\) für den Schnittpunkt \(S\) zu bestimmen und anschließend mit dem \(r\) aus der Geradengleichung den Schnittpunkt \(S\) berechnen$$\begin{aligned} E: \quad \vec{x} \begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 2\end{pmatrix} &= 6 \\ \left[\begin{pmatrix}0\\ 2\\ 4\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 2\end{pmatrix}\right]\cdot \begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 2\end{pmatrix} &= 6 \\ \begin{pmatrix}0\\ 2\\ 4\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 2\end{pmatrix}+ r\cdot\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 2\end{pmatrix} &= 6\\ 10 + 4r &= 6 &&|\, -10\\ 4r &= -4 &&|\,\div 4 \\ r &= -1 \\ \implies S=g(-1) &= \begin{pmatrix}0\\ 2\\ 4\end{pmatrix} + (-1)\cdot \begin{pmatrix}1\\ 1\\ 2\end{pmatrix}\\ S &= \begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 2\end{pmatrix} \\ \end{aligned}$$Und der Schnittwinkel$$\begin{aligned} \cos(\alpha) &= \frac{\vec r \cdot \vec n}{|\vec r|\cdot |\vec n|} \\ &= \frac{\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 2\end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 2\end{pmatrix}\right| \cdot \left|\begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 2\end{pmatrix}\right|} \\ &= \frac{-1+1+4}{\sqrt{1+1+4}\cdot \sqrt{1+1+4}} \\ &= \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \\ \implies \alpha &\approx 48,2° \\ \implies \beta &=90° - \alpha \approx 41,8° \end{aligned}$$
Es wäre toll, wenn Du konkrete Fragen stellen könntest, wenn Du irgendwas nicht verstanden hast. Ansonsten freue ich mich über jedes Feedback
Gruß Werner
