Konvergent/Divergent: Begründen Sie durch Anwenden der Rechenregeln.

Question

Aufgabe 5

Überprüfen Sie, ob die Folge konvergent oder (bestimmt) divergent ist. Begründen Sie durch Anwenden der Rechenregeln.
a) \( a_{n}=3 n^{2}+\frac{2}{n \ln (n)} \)
b) \( a_{n}=-3^{n}-\frac{1}{n} \cos (n) \)
c) \( a_{n}=\frac{4 n^{3}-5 n^{2}+1}{7 n^{3}-2 n} \) 

Answer 1

Aloha :)$$a_n=3n^2+\overbrace{\frac{2}{n\ln(n)}}^{>0}>3n^2\to\infty$$$$b_n=-3^n-\frac1n\cos(n)\stackrel{\pink{-\cos(n)\le1}}{\le}-3^n+\frac1n\stackrel{\pink{\frac1n\le1}}{\le}-3^n+1\to-\infty$$$$c_n=\frac{4n^3-5n^2+1}{7n^3-2n}=\frac{\pink{\frac{1}{n^3}}(4n^3-5n^2+1)}{\pink{\frac{1}{n^3}}(7n^3-2n)}=\frac{4-\frac5n+\frac{1}{n^3}}{7-\frac{2}{n^2}}\to\frac{4-0+0}{7-0}=\frac47$$

Answer 2

Die ersten beiden sind divergent, die dritte konvergent.

Bei den ersten beiden hat man divergente Summanden drin, bei der letzten kann man mit Zählergrad und Nennergrad argumentieren.

Comments

Die Lösung habe ich eh. Aber ich verstehe nicht, wie man drauf kommt.

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Dann solltest du das erwähnen. Kennst du denn die Rwchenregeln? Was passiert mit \(3n^2\), wenn \(n\) immer größer wird? Und wie sieht es mit \(-3^n\) aus?

Bei der dritten: wenn Zählergrad = Nennergrad, dann...?

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Zwei divergente Summanden können immer noch eine konvergente Folge ergeben.

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Das ist richtig. Aber es sind ja auch nur Lösungshinweise und keine vollständigen Lösungen. ;) Ein bisschen selbst nachdenken und auch mal die Unterlagen zu Rate zu ziehen erwarte ich schon.

Dennoch ein guter Hinweis! Danke. :)

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Ich schätze ja Deinen Stil Hilfe zu leisten, sollte keine Korrektur sein, nur eine Ergänzung, damit der Frager nicht auf dumme Gedanken kommt.

Aber wie so oft, hat es sich vermutlich eh erledigt.

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Vielen Dank. Keine Sorge, ich kann mit "Kritik" umgehen und nehme sowas dankend an. Manchmal denkt man einfach nicht daran, solche wichtigen Dinge zu erwähnen. Von daher eine schöne Ergänzung.

Aber ja, hat sich vermutlich erledigt.