Hilfe beim Ansatz finden für ||p| − |q|| ≤ |p + q|.

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass für alle ¨ p, q ∈ Q gilt:


||p| − |q|| ≤ |p + q|.

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist, das ich grade irgendwie komplett auf den Schlauch stehe, wie ich das Beweisen soll...

Beziehungsweise bräuchte ich erst einmal nur einen Ansatz, wie ich denn anfangen könnte.

Könnt ihr mir helfen?

Answer 1

Verwende die Dreiecksungleichung $$|a+b|\leq |a|+|b|$$ und wähle dort \(a=p+q\) und \(b=-q\).

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Es ist \(\;\pm a\le|a|\;\) und \(\;\pm b\le|b|\;\), daher gilt:$$\green{a+b\le|a|+|b|}\quad\text{und}\quad\red{-(a+b)}=(-a)+(-b)\red{\le|a|+|b|}$$Zusammengefasst beduetet das:$$|a+b|\le |a|+|b|$$

Damit gilt nun weiter:$$|a|=|a-b+b|\le|a-b|+|b|\;\Longleftrightarrow\;\green{(|a|-|b|)\le|a-b|}$$$$|b|=|b-a+a|\le|b-a|+|a|\;\Longleftrightarrow\;|b|-|a|\le|b-a|\;\Longleftrightarrow\;\red{-(|a|-|b|)\le|a-b|}$$Zusammengefasst heißt das wieder:$$||a|-|b||\le|a-b|$$