Ansatz für (Un)gleichung mit Fakultät ? n!=n^n oder n! ≤ n^n

Question

Frage zur Lösung einer (Un)gleichung mit Fakultät n!=n^n oder n! ≤ n^n

ja, meine Mathe Matura ist schon etwas länger her darum stehe ich bei folgender (Un)gleichung ein wenig an:

n! ≤ n^n

Ich brauch keine gesamt Lösung nur einen Ansatz wie ich Gleichung mit einer Fakultät drinnen lösen soll... das weiss ich leider echt nicht mehr...^^

Thx & lg

Answer 1

Hallo buzz,

A(n):   n! ≤ nⁿ

vollständige Induktion:

A(1):    1! = 1 = 1¹

A(n) → A(n+1):

(n+1)!  ≤  nⁿ · (n+1)     Beide Seiten  der IV mit n+1 multipliziert

            ≤  (n+1)ⁿ · (n+1)  ≤  (n+1)ⁿ⁺¹ 

Gruß Wolfgang

Answer 2

n! = n^n

Das ist falsch für n >1

durch n^n dividieren:

--> n!/n^n =1

(n*(n-1)*(n-2)*....*1))/(n*n*n*...*n) geht gegen 0 für n gg. oo