Bestimmen sie die Äquivalenzklasse und ein Vertretersystem.

Question

Aufgabe: Es sei X =ℤ² = ℤxℤ und für x=( x1,x2 ) und y= ( y1,y2 ) ∈ ℤ² definiere:
x∼y :⇐⇒ x1−y2 =y1−x2

Bestimmen sie die Äquivalenzklasse und ein Vertretersystem.

Problem/Ansatz:

[x] = {y ∈ X ∣ x ∼ y} = {y ∈ X ∣ x1-y2=y1-x2} = {y ∈ X ∣ x1+x2=y1+y2}

Ich weiß nicht wie ich die Äquivalenzklasse noch weiter ausführe. Somit kann ich ein Vertretersystem noch nicht bestimmen.

Schonmal Danke für die Hilfe;)

Comments

Hallo

ist Z 2 =Z^2

Ich verstehe deine Schreibweise nicht, soll (x)=(x1,x2) sein? x1,x2∈Z

lul

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Ja genau so. Tut mir leid falls es anders herüberkommt lol

Answer 1

Schreib dir doch mal ein paar auf, die in der gleichen Klasse liegen,

also (x1,x2) ~ (y1,y2) gilt, also x1−y2 =y1−x2 bzw. x1+x2 =y1+y2

Also quasi: Die Summen der beiden Komponenten müssen gleich sein,

wie etwa (1;4) , (2;3) , (0;5) , (-1;6) , .....   Das wäre so eine Klasse.

Wenn du das in ein Koordinatensystem einzeichnest, erkennst du, dass

die Punkte alle auf einer Geraden mit der Steigung -1 liegen. So eine

Gerade repräsentiert also eine Klasse, z.B. beschrieben durch die

Geradengleichung y = -x+n.

Ein Vertretersystem wäre also die Menge aller möglichen n, also ℤ.