Wie löst man hier die i.)?

Question

Aufgabe:

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1. Schriftliche Aufgabe
Gibbs-Phänomen
\( 2+0.5+2.5+1=6 \) Punkte

Wir betrachten die aus der Vorlesung bekannte Rechteckschwingung
\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, t \mapsto\left\{\begin{array}{ll} 1 & t \in[0, \pi)+2 \pi \mathbb{Z} \\ -1 & t \in[\pi, 2 \pi)+2 \pi \mathbb{Z} \end{array}\right. \)
sowie die zughörige Fouriersumme
\( S_{n}(t)=\sum \limits_{k=1}^{\eta} \frac{4}{(2 k-1) \pi} \sin ((2 k-1) t), \)
wobei \( \eta=\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor \) die größte ganze Zahl mit \( 2 \eta-1 \leq n \) ist. Überprüfen Sie Satz 16.3.4(iii) aus der Vorlesung wie folgt:
(i) Zeigen Sie induktiv für alle \( \eta \in \mathbb{N} \), dass
\( \sum \limits_{k=1}^{\eta} \cos ((2 k-1) t)=\frac{\sin (2 \eta t)}{2 \sin (t)} \quad \forall t \in(0, \pi) \)
gilt.
Hinweis: Nutzen Sie die Additionstheoreme
\( \begin{array}{l} \sin (x+y)=\sin (x) \cos (y)+\cos (x) \sin (y) \\ \cos (x+y)=\cos (x) \cos (y)-\sin (x) \sin (y) \end{array} \)

Problem/Ansatz:

Wie löst man die i.)? wie zeigt man das induktiv?

Answer 1

Der erste Schritt ist immer, erst einmal anzufangen, damit man vielleicht mal auf eine Idee kommt. Das heißt:

1) Induktionsanfang. Prüfe die Aussage für \(\eta=1\).

2) Induktionsvoraussetzung: Für ein beliebiges \(\eta\) ... aufschreiben.

3) Induktionsbehauptung: Nochmal genau aufschreiben, was man im Induktionsschritt zeigen möchte.

4) Den Induktionsschritt durchführen. Bei Summen funktioniert es häufig so, dass man den letzten Summanden aus der Summe schreibt und dann die IV auf die restliche Summe anwendet. Dann braucht man die Additionstheoreme. Das steht aber im Hinweis.

Fange damit erstmal an und dann kann man im Induktionsschritt schauen, wo es hängt.

Comments

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Irdulutionionfary:
i.) Funt \( n=1 \),itt:
\( \begin{array}{c} \sum \limits_{k=1}^{1} \cos ((2 \cdot 1-1) t)=\frac{\sin (2 \cdot 1 t)}{2 \sin (t)} \\ \cos (t)=\frac{\sin (2 t)}{2 \sin (t)} \\ 2 \sin (t) \cdot \cos (t)=\sin (2 t) \end{array} \)

Aussage stimmt
Indultronsvoramssetiung: In \( \in \mathbb{N}: \sum \limits_{k=1}^{n} \cos ((2 k-1) t)=\frac{\sin (2 n t)}{2 \sin (t)} \)
Induthionsbehamphry: \( \sum \limits_{k=1}^{n+1} \cos ((2 k-1) t)=\frac{\sin (2 t(n+1))}{2 \sin (t)} \)

Ist das bis zur Induktionsbehauptung richtig? Ich verstehe nicht genau was du mit: „Bei Summen funktioniert es häufig so, dass man den letzten Summanden aus der Summe schreibt und dann die IV auf die restliche Summe anwendet" meinst. Und im Induktionsschritt muss ich den Term von der IB mit der IV gleichsetzen oder?

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Das heißt$$\sum_{i=0}^{n+1} ... =\sum_{i=0}^n ... + (n+1) \text{-ter Term} $$

Rest sieht gut aus.

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D.h. einf. gleichsetzen

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Du setzt ja nichts gleich, sondern spaltest einfach die Summe auf, damit du auf der ersten Summe die IV anwenden kannst.

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warum von i=0? k ist doch 1.

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„Du setzt ja nichts gleich, sondern spaltest einfach die Summe auf, damit du auf der ersten Summe die IV anwenden kannst."

Das mach ich im Induktionsschritt oder?

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Natürlich von 1. Tippfehler. Spielt aber für die Idee des Aufsplittens keine Rolle.

Und ja, passiert alles im IS.

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Text erkannt:

\( \sum \limits_{k=1}^{n+1} \frac{\sin (2 t(n+1))}{2 \sin (t)}=\sum \limits_{k=1}^{n} \cos ((2 k-1) t)+\frac{\sin (2 t(n+1))}{2 \sin (t)} \)

d.h. so? oder statt cos den sin-Term?

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Induhtionocianfary:
i.) Füt \( n=1 \), \( t t \) :
\( \begin{array}{c} \sum \limits_{k=1}^{1} \cos ((2 \cdot 1-1) t)=\frac{\sin (2 \cdot 1 t)}{2 \sin (t)} \\ \cos (t)=\frac{\sin (2 t)}{2 \sin (t)} \\ 2 \sin (t) \cdot \cos (t)=\sin (2 t) \end{array} \)

Aussage stimmt
Indultionsvoranssetzung: \( \exists n \in \mathbb{N}: \sum \limits_{k=1}^{n} \cos ((2 k-1) t)=\frac{\sin (2 n t)}{2 \sin (t)} \)
Indunthionsbehamphry: \( \sum \limits_{k=1}^{n+1} \cos ((2 k-1) t)=\frac{\sin (2 t(n+1))}{2 \sin (t)} \)
\( \text { Induhhionsschntt: } \begin{aligned} \sum \limits_{k=1}^{n+1} \cos ((2 k-1) t) & =\sum \limits_{k=1}^{n} \cos ((2 k-1) t)+ \\ & \cos ((2 \cdot(n+1)-1) t) \\ & =\frac{\sin (2 n t)}{2 \sin (t)}+\cos ((2 \cdot(n+1)-1) t) \\ & =\frac{\sin (2 n t)}{2 \sin (t)}+\frac{2 \sin (t) \cdot \cos ((2 \cdot(n+1)-1) t)}{2 \sin (t)} \\ & =\frac{\sin (2 n t)+2 \sin (t) \cdot \cos ((2 \cdot(n+1)-1) t)}{2 \sin (t)} \end{aligned} \)

Ok ich hab es jetzt gecheckt, verstehe aber nicht wie ich ab hier weitermache. Ich muss hier wahrscheinlich die Additionstheoreme verwenden, verstehe aber nicht wie ich das umformen soll. Weißt du wie mans umformen kann. Weil der Nenner stimmt überein aber der Zähler nicht.