Bundesliga Meister Rekord

Question

Hallo Mathe fans,

Bayern München, hat einen neuen Rekord erreicht, sie sind nach 27 Spieltagen Meister geworden, ich habe mir die frage gestellt , nach wieviel Spieltagen ( also so früh wie möglich, natürlich theorhetisch ) ist es möglich meister zu werden?

Ich bin zu folgende überlegung gekommen: nach 21 Spieltagen hätte eine Mannschaft 63 Punkte

zu vergeben sind noch 39 Punkte

die anderen Mannschaften hätten höchstens 20 Punkte ( immer unentschieden + eine niederlage gegen die führende Mannschaft )

dem nach wenn eine verfolge Mannschaft noch die restlichen 13 Spiele gewinnen sollte dann hätte sie 20 Punkte + 39 Punkte = 59 Punkte

ist meine Überlegung richtig?

kann das Mathematisch lösen?

Answer 1

Ja, ich finde deine Überlegungen einleuchtend :-)

Mathematisch kann man das wie folgt lösen:

Gesucht ist derjenige Spieltag x, nach dem der angehende Rekordmeister so viele Punkte geholt hat, dass er nicht mehr einholbar ist.
Wenn für den angehenden Rekordmeister alles richtig gut läuft, dann hat er nach x Spieltagen 3 x Punkte. Alle anderen Mannschaften haben dann 1 * ( x - 1 ) Punkte ( x - 1 mal Unentschieden). Insgesamt gibt es 34 Spieltage. Die beste der anderen Mannschaften kann nach x Spieltagen in den verbleibenden 34 - x Spieltagen bestenfalls noch 3 * ( 34 - x ) = 102 - 3 x Punkte holen.
Unter diesen Bedingungen ist die Meisterschaft entschieden, wenn gilt:

3 x > ( x -1 ) + 102 - 3 x
(Links die Punkte des angehenden Rekordmeisters nach x Spieltagen, rechts die Punkte, die die beste der übrigen Mannschaften noch erreichen kann, wenn sie nach x - 1 Unentschieden und einer Niederlage noch  34 - x mal gewinnt.)

Löst man die Ungleichung nach x auf, erhält man:

3 x > x - 1 + 102 - 3 x

<=> 5 x > 101

<=> x > 101 / 5 = 20,2

Also: Frühestens nach dem 21. Spieltag kann eine Mannschaft vorzeitig Meister sein.

Comments

Hallo JotEs, Danke für deine Mathematische lösung, ich hatte keine ahnung wie man das Mathematisch lösen kann, aber durch probieren bin ich auch auf 21 Spieltage gekommen.

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"Alle anderen Mannschaften haben dann 1 * ( x - 1 ) Punkte ( x - 1 mal Unentschieden)."

So ganz stimmt das nicht. Da ja der 21. Spieltag schon in der Rückrunde liegt, gibt es Mannschaften, die schon 2-mal gegen den Rekordmeister gespielt (und verloren) haben, und somit (x-2) Punkte haben.

Aber es reicht ja, wenn mind. eine Mannschaft am x-ten Spieltag (x-1) Punkte hat. Und das ist offensichtlich erfüllt (für x<34).

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Interessant wäre ja auch mal die Frage, wann eine Mannschaft frühestens als Absteiger feststehen kann.

Wenn wir davon ausgehen, dass diese Mannschaft an den ersten x Spieltagen jedes Spiel verliert, steht sie am x-ten Spieltag als Absteiger fest, wenn 16 der anderen 17 Mannschaften mind. (34-x)*3+1 Punkte haben.

Anders als oben ist es ja hier nicht am Günstigsten, wenn alle anderen Mannschaften immer Unentschieden spielen. Denn eine Mannschaft, die abwechselnd gewinnt und verliert, holt mehr Punkte als eine Mannschaft, die nur Unentschieden spielt.

Kann man das auch so einfach berechnen wie oben?

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Frühestens kann ein Verein am 23. Spieltag als Absteiger festehen. Wir gehen von der aktuellen Bundesliga aus - 18 Vereine, 2 direkte Absteiger.

Am Spieltag 22:

Team Absteiger hat 0 Punkte

Team Vorletzter hat 3 oder 6 Punkte

Alle anderen Teams haben demnach zusammen maximal 591 Punkte (= 22 (Spieltage) * 3 (Punkte) * 9 (Spiele) - 3 (Punkte von Team Vorletzter) ).

Damit ein Absteiger feststeht, muss der Drittletzte unerreichbar sein. 591 / 16 (übrige Vereine) = 36,9375. Demnach gibt es mindestens ein weiteres Team, dass 36 oder weniger Punkte hat - und da in den verbleibenden 12 Spieltagen noch 36 Punkte zu vergeben sind, kann hier noch kein Absteiger feststehen.

Am 23. Spieltag: es reicht nun zu zeigen, dass es eine Möglichkeit gibt, wie der Absteiger feststehen kann:

Team Absteiger hat 0 Punkte

Team Vorletzter hat 3 Punkte

In der Hinrunde hat jeder der restlichen Vereine 6 Punkte gegen Team Absteiger und Vorletzter geholt. Von den restlichen 21 (=23-2) Spielen hat oBdA jeder Verein mindestens 10 Heimspiele (also weniger als jedes Zweite). Dann hat -wenn jedes Heimspiel gewonnen wird- jeder Verein ≥36 Punkte. Da nur noch 33 Punkte zu vergeben sind, steht der Absteiger fest.