Nullstellen Funktionenscharen angeben

Question

Aufgabe:

Die Funktion fk(x) = 1/2x²+2kx+k liegt vor und es sollen die Werte für k gefunden werden, bei dem die Funktion fk(x) zwei Nullstellen hat und die Funktion fk(x) keine Nullstelle hat.

Problem/Ansatz:

Komme da überhaupt nicht weiter.

Comments

Hallo,

wie bestimmst du denn Nullstellen einer quadratischen Funktion, mit der pq-Formel? Die kannst du auch hier anwenden.

Wird der Term unter der Wurzel = 0, hat die Funktion nur eine Nullstelle. Ist er größer als 1, gibt es derer zwei und wenn sie kleiner als null ist, gibt es keine.

Answer 1

1/2x²+2kx+k = 0

<=>  x^2 + 4kx + 2k = 0

<=>  x^2 + 4kx + 4k^2 - 4k^2  + 2k = 0

<=>  (x+2k)^2  - 4k^2  + 2k = 0

<=>  (x+2k)^2  = 2k - 4k^2

Damit es 2 Nullstellen gibt, muss die rechte Seite

positiv sein, also   2k-4k^2 > 0

 <=>  2k ( 1-2k) > 0

<=>  ( 2k > 0 und 1-2k > 0 ) oder   ( 2k < 0 und 1-2k < 0 )  

<=>  ( 2k > 0 und 1>2k ) oder ( 2k < 0 und 1<2k  )

<=>  ( k > 0 und 0,5>k ) oder ( k < 0 und 0,5<k )

<=>    0 < k < 0,5   .

Also 2 Nullstellen für k zwischen 0 und 0,5.

Bei 0 und bei 0,5 gibt es immer genau eine Nullstelle,

also keine, wenn k<0 oder k>0,5 ist.

Answer 2

1/2x^2+2kx+k = 0

x^2+4kx+2k = 0

Diskriminante D der pq-Formel:

(4k)^2-2k = 16k^2-2k

2 Nullstellen:

D>0

16k^2-2k >0

2k(8k-1) >0

1. 2k>0 u. 8k-1 >0

k>0 u, k> 1/8 -> k> 1/8

2. k<0 u. k< 1/8 -> k<0

L= R \(0, 1/8)

keine Nullstelle:

D<0

1. 2k<0 u. k>1/8  (entfällt)

2. 2k>0 u. k<1/8 -> L = (0;1/8) 

Comments

Diskriminante Ist falsch.