Grenzwertberechnung a_n

Question

Wie genau berechnet man hier lim(n->∞) a_n ?

Text erkannt:

\( a_{n}:=\left(\frac{2 n+1}{2 n}\right)^{3 n} \)

Text erkannt:

\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\mathrm{e}( \) Eulersche Zahl \( ) \).

Answer 1

\( \left(\frac{2 n+1}{2 n}\right)^{3 n} =   \left(1+\frac{1}{2 n}\right)^{3 n} \)

\( =  \left(1+\frac{1}{2 n}\right)^{2 n+ n } =  \left(1+\frac{1}{2 n}\right)^{2n }\cdot  \left(1+\frac{1}{2 n}\right)^{n } \)

\( =  \left(1+\frac{1}{2 n}\right)^{2n }\cdot \left(1+\frac{0,5}{n}\right)^{n } \)

Für n gegen ∞ also \(  e \cdot \sqrt{e} \)

Comments

Wieso genau wird \( \left(\frac{2 n+1}{2 n}\right)^{3 n}\) zu  \(\left(1+\frac{1}{2 n}\right)^{3 n} \) ?

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Weil (2n)/(2n) = 1 gilt!

(Und weil \( \frac{a+b}{c} =\frac{a}{c} +\frac{b}{c} \) gilt.)

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Achja tut mir leid, das ist mir irgendwie grad ganz entfallen, danke

Answer 2

Aloha :)

$$a_n=\left(\frac{2n+1}{2n}\right)^{3n}=\left(\frac{\pink{\frac32}\cdot(2n+1)}{\pink{\frac32}\cdot2n}\right)^{3n}=\left(\frac{3n+\frac32}{3n}\right)^{3n}=\left(1+\frac{\frac32}{3n}\right)^{3n}\to e^{3/2}$$Wir haben uns an \(\;\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n=e^x\;\) erinnert und \((3n)\) gegen \(\infty\) laufen lassen.