Frage zur Grenzwertberechnung

Question

hi, ich übe gerade Grenzwertberechnungen, aber verstehe nicht so ganz, warum

$$\lim\limits_{x\to\infty}((1+\frac{1}{n})^n)^2$$ gegen e^2 konvergiert. Wisst ihr vielleicht warum?

Answer 1

Allgemein gilt:

lim (x->∞) (1 +1/n)^n =e

Answer 2

Aloha :)

Die Exponential-Funktion \(e^x\) hat im Punkt \(x=0\) die Tangente \(t(x)=1+x\). Das heißt, für sehr kleine Werte \(x\ll1\) kann die e-Funktion durch \(e^x\approx1+x\) angenähert werden, und die Näherung ist umso besser je näher \(x\) bei \(0\) liegt. Daher gilt:$$e=e^1=e^{n/n}=\left(e^{1/n}\right)^n\approx\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\quad\text{für}\quad n\gg1$$Merke dir den wichtigen Grenzwert:$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$$In deiner Fragestellung ist nun:$$\lim\limits_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right]^2=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e\cdot e=e^2$$

Comments

vielen Dank:)