Wie komme ich aber auf das Argument?

Question

Text erkannt:

Es seien \( z_{1}=-\sqrt{2}+\sqrt{2} \mathrm{i}, z_{2}=\sqrt{5}\left(\cos \left(\frac{1}{9} \pi\right)+\mathrm{i} \sin \left(\frac{1}{9} \pi\right)\right) \) und \( w=\frac{z_{1}}{z_{2}^{2}} \). Geben Sie den Betrag sowie das Argument von \( w \) an:
\( |w|=\frac{2}{5}, \quad \arg w=\frac{-9}{\text { gPie }} \cdot \pi . \)

Hinweis: Geben Sie Brüche vollständig gekürzt und mit positivem Nenner an. Ganzzahlige Ergebnisse sind als Brüche mit Nenner 1 anzugeben. Das Argument muss im Intervall \( (0,2 \pi) \) liegen.

Hallo Zusammen,

ich bin auf den Betrag von w gekommen indem ich den betrag von z1 gerechnet habe, was 2 ergab, und z2 quadriert führt zum betrag 5 woraus 2/5 folgt. Wie komme ich aber auf das Argument? habe es wahrscheinlich falsch.

Answer 1

Betrag stimmt. Und \( z_{1} = 2(-\frac{\sqrt{2}}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{2}}{2})=2(\cos(\frac{3\pi}{4}))+\mathrm{i}\sin(\frac{3\pi}{4} ))\)

heißt ja \(  \arg(z_1)=\frac{3\pi}{4}   \) und

 \(  \arg(z_2)=\frac{\pi}{9}  \)  ==>    \(  \arg(z_2^2)=\frac{2\pi}{9}  \)

Damit hat der Quotient  \( w=\frac{z_{1}}{z_{2}^{2}} \) das Argument   \( \frac{3\pi}{4}  -\frac{2\pi}{9} = \frac{19\pi}{36} \)