Bestimmen sie die allgemeine reelle Lösung des

Question

Text erkannt:

\( V_{1}=\left(\begin{array}{c}-1+6 i \\ -1\end{array}\right) \)
\( \begin{aligned} z_{1}(t) & =e^{(3+6 i) t}\left(\begin{array}{c}-1+6 i \\ -1\end{array}\right) \\ & =e^{3 t} \cdot(\cos (6 t)+i \sin (6 t))\left(\begin{array}{c}-1+6 i \\ -1\end{array}\right)\end{aligned} \)
\( z_{1}(t)=e^{3 t}\left(-\cos (6 t)+6 i \cos (6 t)-i \sin (6 t)+6 i^{2} \sin (6 t)\right. \)
\( -\cos (6 t)+6 i \cos (6 t)-i \sin (6 t)+6 i^{2} \sin (6 t) \)

Text erkannt:

Bestimmen sie die allgemeine reelle Lösung des
Differenzialgleichungssystems
\( \dot{\boldsymbol{x}}(t)=\left(\begin{array}{cc} 2 & 37 \\ -1 & 4 \end{array}\right) \boldsymbol{x}(t) . \)

Welche der folgenden Varianten stellt die richtige Lösung dar?
Beachten Sie, dass die Eigenvektoren nicht eindeutig sind und Sinusfunktion ungerade bzw. Kosinusfunktion gerade ist.

Hallo zusammen, ich habe hier eine komplexe fundamentale Lösung eines Differentialgleichungssystems und eine etwas dumme Frage dazu: Was mache ich mit dem Realteil (–1+6i)? Verrechne ich das einfach ganz normal? Irgendwie haut das bei mir nicht hin. Das Ergebnis soll am Ende wie eine der vier Möglichkeiten aussehen, die im Screenshot zur Auswahl stehen.

Answer 1

Hallo,

λ₁ =3-6i

ν₁=\( \begin{pmatrix} 1+6i\\1\\ \end{pmatrix} \)

\( \begin{array}{l}\ \\ x=e^{(3-6 i) t}\left(\begin{array}{c}1+6 i \\ 1\end{array}\right) \\ x=e^{3 t} \cos (6 t)-i e^{3 t} \sin (6 t)\left(\begin{array}{c}1+6 i \\ 1\end{array}\right) \\ x=e^{3 t} \cos (6 t)\left(\begin{array}{c}1+6 i \\ 1\end{array}\right)-i e^{3 t} \sin (6 t)\left(\begin{array}{c}1+6 i \\ 1\end{array}\right) \\ x=\left(\begin{array}{c}e^{3 t} \cos (6 t)+6 i e^{3 t} \cos (6 t) \\ e^{3 t} \cos (6 t)\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-i e^{3 t} \sin (6 t)+e^{3 t} \cdot 6 \cdot \sin (6 t) \\ -i e^{3 t} \sin (6 t)\end{array}\right) \\\end{array} \)

\( x=\underbrace{\left.\begin{array}{c}e^{3 t} \cos (6 t)+e^{3 t} \cdot 6 \cdot \sin (6 t) \\ e^{3 t} \cos (6 t)\end{array}\right)}_{\text {Realteil }}+i \cdot \underbrace{\left(\begin{array}{c}-6 e^{3 t} \cos (6 t)+e^{3 t} \sin (6 t) \\ e^{3 t} \sin (6 t)\end{array}\right)}_{\text {Imaginarteil }} \)

ich habe erhalten:

Eigenwerte:

\( \begin{array}{l}\lambda_{1}=3+6 i \\ \lambda_{2}=3-6 i\end{array} \)

Eigenvektoren:

\( \begin{array}{l}v_{1}=(1-6 i, 1) \\ v_{2}=(1+6 i, 1)\end{array} \)

allgemein gilt:

\( x(t)=C_{1} \cdot \operatorname{Re}\left(e^{\lambda_{1} \cdot t} \cdot v_{1}\right)+C_{2} \cdot \operatorname{Im}\left(e^{\lambda_{1} \cdot t} \cdot v_{1}\right) \)

falls die Eigenwerte konjugiert komplex sind, genügt es, für einen Eigenwert \( \lambda_{1} \) einen Eigenvektor \( v_{1} \) zu bestimmen. ( \( \lambda_{2} \) wird nicht benötigt )

Ich habe b als Lösung erhalten.

Comments

Könntest du mir vielleicht den gesamten Rechenweg zeigen? Ich hab keine Ahnung wie ich das mit dem Realanteil mache bei (1+6i), wie ich das quasi in sin und cos aufteile. Siehst ja was bei mir rauskommt :D