Aloha :)
Für \(n=1\) gilt die Behauptung, denn:$$n=1\pink<\left(1+\sqrt{\frac21}\right)^1=\left(1+\sqrt{\frac2n}\right)^n\quad\checkmark$$
Für \(n\ge2\) gilt nach dem binomischen Lehrsatz:$$\left(1+\sqrt{\frac2n}\right)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot1^{n-k}\cdot\left(\sqrt{\frac2n}\right)^k$$Wir wählen aus der Summe die Summanden zu \(k=0\) und zu \(k=2\) aus.
Alle übrigen lassen wir einfach weg, daher das Größer-Zeichen:$$\left(1+\sqrt{\frac2n}\right)^n>\binom{n}{0}+\binom{n}{2}\cdot\left(\sqrt{\frac2n}\right)^2=1+\frac{n(n-1)}{2}\cdot\frac2n=1+(n-1)=n$$
Es gilt sogar die Größer-Relation.
