Beweis mit binomischem Lehrsatz

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie folgende Ungleichung mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes:
(c) \( (1+x)^{n} \geq 1+\frac{n(n-1)}{2} x^{2}, \) für \( x \geq 0, n \in \mathbb{N}_{0} \)

Answer 1

Hallo,

es gilt:$$(1+x)^n=\sum \limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix}\cdot 1^{n-k}\cdot x^k=1+nx+\begin{pmatrix} n \\ 2\end{pmatrix}x^2+\cdots + x^n$$ Lässt du auch nur einen von diesen Summanden weg, erhältst du keinen genauen Ausdruck mehr, sondern eine Abschätzung. Streiche \(nx\) und alle Terme nach \(\begin{pmatrix} n \\ 2\end{pmatrix}x^2\), dann gilt:$$(1+x)^n\geq 1+\begin{pmatrix} n \\ 2\end{pmatrix}x^2=1+\frac{n(n-1)}{2}x^2$$ Beachte, dass \(\begin{pmatrix} n \\ 2\end{pmatrix}=\frac{n!}{(n-2)!\cdot 2!}=\frac{n(n-1)}{2}\)

Answer 2

Benutze doch den Hinweis:

Es gilt \( \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} = 1, \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} = n, \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{n(n-1)}{2}\).

Für \(n=0\) folgt sofort \((1+x)^0=1\geq 1+0 = 1+\frac{0\cdot (0-1)}{2}\cdot x^2\).

Für \(n=1\) folgt \((1+x)^1=1+x\geq 1+0 = 1+\frac{1\cdot (1-1)}{2}\cdot x^2\).

Für \(n=2\) folgt \((1+x)^2=1+2x+x^2\geq 1+x^2 = 1+\frac{2\cdot (2-1)}{2}\cdot x^2\).

Für \(n\geq 3\): \((1+x)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^k = 1 + n\cdot x + \frac{n(n-1)}{2}\cdot x^2 + \sum\limits_{k=3}^{n}  \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^k \geq 1+\frac{n(n-1)}{2}\cdot x^2\).