Basis eines Untervektorraums bestimmen. Liegen die Vektoren im Unterraum?

Question

Gegeben sind folgende Vektoren:

\( \vec{a} \) =\( \begin{pmatrix} 1\\5\\0\\5\\-1 \end{pmatrix} \) , \( \vec{b} \) =\( \begin{pmatrix} 1\\-1\\0\\-1\\2 \end{pmatrix} \) , \( \vec{c} \) =\( \begin{pmatrix} -3\\3\\1\\3\\-3 \end{pmatrix} \) , \( \vec{d} \) =\( \begin{pmatrix} 1\\-1\\-1\\-1\\1 \end{pmatrix} \) , \( \vec{e} \) =\( \begin{pmatrix} 2\\-2\\3\\-2\\0 \end{pmatrix} \) , \( \vec{f} \) =\( \begin{pmatrix} 1\\1\\0\\1\\2 \end{pmatrix} \).

Bestimmen Sie die Basis des Untervektorraums U=span (\( \vec{a} \) ,...,\( \vec{f} \).)

Liegen die Vektoren \( \vec{w} \) =\( \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\1\\0 \end{pmatrix} \) und \( \vec{v} \) =\( \begin{pmatrix} 3\\5\\3\\5\\3 \end{pmatrix} \) im Unterraum U?

Für die erste Aufgabe habe ich ein LGS aus den Vektoren aufgestellt und dieses in Zeilenstufenform gebracht. Die abhängigen Variablen bilden dann die Basis von U. Ist das richtig?

Bei der zweiten Aufgabe weiß ich nicht so ganz, wie ich vorgehen soll.

Answer 1

Aloha :)

Du kannst elemantare Spaltenumformungen verwenden, um die linearen Abhängigkeiten aus den Vektoren rauszurechnen. Unser Ziel ist es, möglichst viele Zeilen zu erhalten, die aus lauter Nullen und genau einer Eins bestehen:

$$\small\begin{array}{rrrrrr}-S_6 & -S_6 & +3S_6 & -S_6 & -2S_6 &\\\hline1 & 1 & -3 & 1 & 2 & 1\\5 & -1 & 3 & -1 & -2 & 1\\0 & 0 & 1 & -1 & 3 & 0\\5 & -1 & 3 & -1 & -2 & 1\\-1 & 2 & -3 & 1 & 0 & 2\end{array}\to\begin{array}{rrrrrr}+2S_2 & \div(-2) & +3S_2 & -S_2 & -2S_2 &\\\hline0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \pink1\\4 & -2 & 6 & -2 & -4 & 1\\0 & 0 & 1 & -1 & 3 & 0\\4 & -2 & 6 & -2 & -4 & 1\\-3 & 0 & 3 & -1 & -4 & 2\end{array}\to$$$$\begin{array}{rrrrrr}\div(-3) & & +S_1 & \cdot(-1) & & -S_2\\\hline0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \pink1\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\0 & 0 & 1 & -1 & 3 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\-3 & 0 & 3 & -1 & -4 & 2\end{array}\to\begin{array}{rrrrrr} & & & -S_3 & -3S_3 &\\\hline0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \pink1\\0 & \pink1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 1 & 3 & 0\\0 & \pink1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 2\end{array}\to$$$$\begin{array}{rrrrrr} & & &-S_1 & +4S_1 & -2S_1\\\hline0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \pink1\\0 & \pink1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & \pink1 & 0 & 0 & 0\\0 & \pink1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 1 & -4 & 2\end{array}\to\begin{array}{rrrrrr} \vec u_1 & \vec u_2 & \vec u_3 & & & \vec u_4\\\hline0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \pink1\\0 & \pink1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & \pink1 & 0 & 0 & 0\\0 & \pink1 & 0 & 0 & 0 & 0\\\pink1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}$$

Es bleiben 4 Vektoren \(\vec u_1;\vec u_2,\vec u_3, \vec u_4\) übrig, die den Raum \(U\) aufspannen.

Der Vektor \(\vec w=(0;0;0;1;0)^T\) liegt nicht in \(U\), denn wir brauchen zwingend den Vektor \(\vec u_2\), damit die 4-te Komponente eine \(\pink1\) wird, haben dann aber keine Möglichkeit mehr, die mit \(\vec u_2\) geerbte \(\pink1\) an der zweiten Komponente wieder zu kompensieren. Das heißt \(\vec w\not\in U\).

Für den Vektor \(\vec v\) gilt hingegen:$$\vec v=\begin{pmatrix}3\\5\\3\\5\\3\end{pmatrix}=3\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\\0\end{pmatrix}+3\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\1\end{pmatrix}+5\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\\1\\0\end{pmatrix}=3(\vec u_4+\vec u_3+\vec u_1)+5\vec u_2$$Daher ist \(\vec v\in U\).

Answer 2

Hallo

"Die abhängigen Variablen bilden dann die Basis von U. Ist das richtig?
" verstehe ich nicht.

du musst die linear unabhängigen Vektoren finden das sind die die nicht in Nullzeilen stehen,

zu b) musst du suchen ob du w und v als Linearkombination deiner Basis schreiben kannst,

Gruß lul