Aloha :)
Unsere Punktmenge \((x;y;z)\in\mathbb R^3\) muss zwei Bedingungen erfüllen:$$x^2+y^2+z^2\le8\quad\text{und}\quad z\ge2$$Der maximale Wert für \(z\) tritt im Fall \(x=y=0\) auf, beträgt also \(\sqrt8\). Das heißt:$$x^2+y^2\le8-z^2\quad;\quad z\in[2;\sqrt8]$$Das können wir mittels Zylinderkoordinaten wie folgt parametrisieren:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;\sqrt{8-z^2}]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;z\in[2;\sqrt8]$$
Mit dem Volumenelement \(dV=r\,dr\,d\varphi\,dz\) in Zylinderkoordinaten lautet das gesuchte Volumen$$V=\int\limits_{r=0}^{\sqrt{8-z^2}}\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{z=2}^{\sqrt8}r\,dr\,d\varphi\,dz=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_{z=2}^{\sqrt 8}\left(\int\limits_{r=0}^{\sqrt{8-z^2}}r\,dr\right)dz=2\pi\int\limits_{z=2}^{\sqrt8}\left[\frac{r^2}{2}\right]_{r=0}^{\sqrt{8-z^2}}dz$$$$\phantom V=\pi\int\limits_{z=2}^{\sqrt8}(8-z^2)\,dz=\pi\left[8z-\frac{z^3}{3}\right]_{z=2}^{\sqrt8}=\sqrt8\,\pi\left(8-\frac{8}{3}\right)-2\pi\left(8-\frac{4}{3}\right)$$$$\phantom V=2\sqrt2\,\pi\cdot\frac{16}{3}-2\pi\cdot\frac{20}{3}=\frac{8\pi}{3}(4\sqrt2-5)\approx5,5028$$