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Aufgabe:

Hallo

Hallo0001.jpg

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b) Betrachten Sie die Sphäre in \( \mathbb{R}^{3} \), die durch \( x^{2}+y^{2}+z^{2}=8 \) gegeben ist. Berechnen Sie das Volumen des Teils der Sphäre, der sich oberhalb von der Ebene \( z=2 \) befindet.

Untitled - 2023-11-25T143822.579.jpg

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26)
\( \iiint_{\text {Tilhel }} d x d y d z=\iiint r^{2} \sin \theta d \varphi d r d \theta \)
tieharel

Grevsen für Wintal \( O \)
\( z=2 \underset{v=\sqrt{8}}{Q 2} \Rightarrow \alpha=\cos ^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{8}}\right)=\frac{\pi}{4} \)
\( \Rightarrow \theta \) achtivon \( 0 \operatorname{bis} \frac{\pi}{4} \)
Gwersen für \( t \)
\( \begin{aligned} x^{2}=r^{2}-z^{2}=2 & =\sqrt{8-12+4 \sqrt{8}} \\ & =\sqrt{4 \sqrt{8}-4} \\ & =2 \cdot \sqrt{\sqrt{8}-1} \end{aligned} \)

Nunqiet dis das Inderpal:
\( \begin{aligned} \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int \limits_{0}^{2 \sqrt{\sqrt{\beta}-1}} \int \limits_{0}^{2 \pi} r^{2} \sin \theta d y d r d \theta & =2 \pi \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int \limits_{0}^{2 \sqrt{\sqrt{8}-1}} r^{2} \sin \theta d r d \theta \\ =\frac{2}{3} \pi \int \limits_{0}^{\pi}\left[r^{-3}\right]_{0}^{2 \sqrt{\sqrt{8}-1}} \sin \theta d \theta & =\frac{2}{3} \pi \cdot 6(\sqrt{8}-1)^{\frac{3}{2}} \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin \theta d \theta \\ & =\frac{2}{3} \pi \cdot 6(\sqrt{8}-1)^{\frac{3}{2}} \cdot\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\ & =\frac{12}{3} \pi(\sqrt{8}-1)^{\frac{3}{2}}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \end{aligned} \)
miro

Kann jemand helfen bei der Aufgabe die Integrationsgrenzen zu bestimmen. Meine sind leider falsch ( wurde vom Tutor korrigiert)

Es geht um ein Volumen einer Teilkugel (Siehe Bild)

Bei meinen Lösungen kommt mal so gesagt eine unübersichtliche Zahl heraus.


Problem/Ansatz:

LG

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2 Antworten

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Beste Antwort

Ich empfehle hier direkte Berechnung mit Cavalieri - du zerschneidest die Kugelkappe mit Ebenen \(z=2\ldots \sqrt 8\) in Kreisscheiben:
\(V=\int_{z=2}^{\sqrt 8}A(z)\, dz\) mit \(A(z) = \pi r^2(z) \) und \(r^2(z) = 8-z^2\)

Also

$$V=\pi\int_{z=2}^{\sqrt 8}(8-z^2)\, dz = \frac 83(4\sqrt 2 - 5)\pi$$

Berechnung hier.

Avatar von 11 k

Danke für die Antwort. Den Satz von Cavalierie hatten wir nicht.

Aber es ist schlüssig. Eine Frage kann man es den nicht durch eine geeignete Integrationsgrenze für Radius r ausrechnen, würde mich echt fürs Verständnis der Thematik "Volumenintegrale" interessieren?

Eigentlich ist es ein Volumenintegral und z läuft eben nicht von 0 bis \(R = \sqrt 8\) sondern von 2 bis \(R = \sqrt 8\).

Das vollständige Volumenintegral in Zylinderkoordinaten wäre

$$V= \int_{z=0}^{\sqrt 8}\int_{\phi=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{\sqrt{8-z^2}}r\,dr\,d\phi\,dz$$

Aber da man ja die Formel für die Fläche eines Kreises kennt, muss man das Integral bzgl. \(r\) und \(\phi\) nicht nochmal berechnen.

+1 Daumen

Aloha :)

Unsere Punktmenge \((x;y;z)\in\mathbb R^3\) muss zwei Bedingungen erfüllen:$$x^2+y^2+z^2\le8\quad\text{und}\quad z\ge2$$Der maximale Wert für \(z\) tritt im Fall \(x=y=0\) auf, beträgt also \(\sqrt8\). Das heißt:$$x^2+y^2\le8-z^2\quad;\quad z\in[2;\sqrt8]$$Das können wir mittels Zylinderkoordinaten wie folgt parametrisieren:$$\vec r=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;\sqrt{8-z^2}]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;z\in[2;\sqrt8]$$

Mit dem Volumenelement \(dV=r\,dr\,d\varphi\,dz\) in Zylinderkoordinaten lautet das gesuchte Volumen$$V=\int\limits_{r=0}^{\sqrt{8-z^2}}\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{z=2}^{\sqrt8}r\,dr\,d\varphi\,dz=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_{z=2}^{\sqrt 8}\left(\int\limits_{r=0}^{\sqrt{8-z^2}}r\,dr\right)dz=2\pi\int\limits_{z=2}^{\sqrt8}\left[\frac{r^2}{2}\right]_{r=0}^{\sqrt{8-z^2}}dz$$$$\phantom V=\pi\int\limits_{z=2}^{\sqrt8}(8-z^2)\,dz=\pi\left[8z-\frac{z^3}{3}\right]_{z=2}^{\sqrt8}=\sqrt8\,\pi\left(8-\frac{8}{3}\right)-2\pi\left(8-\frac{4}{3}\right)$$$$\phantom V=2\sqrt2\,\pi\cdot\frac{16}{3}-2\pi\cdot\frac{20}{3}=\frac{8\pi}{3}(4\sqrt2-5)\approx5,5028$$

Avatar von 152 k 🚀

Cool. Zylindekoordinaten, wäre nicht drauf gekommen obwohl das "z" in der Aufgabenstellung anscheinend ein Hinweis war.

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