Wie viel Martini befindet sich im Sektglas? (Kegel)

Question

a) Ein kegelförmiges Sektglas wird bis zur halben Höhe mit Martini gefüllt. Wie viel Martini befindet sich im Glas? Geben Sie das Ergebnis als Anteil, bezogen auf das Gesamtvolumen des Glases, an.

b) Das Sektglas soll nun so gefüllt werden, dass die Hälfte seines Volumens Martini enthält. Wie hoch steht der Martini? Geben Sie das Ergebnis als Anteil, bezogen auf die Höhe des Glas-Kegels, an.

c) Wir betrachten nun wieder das gefüllte Glas aus Aufgabe a). Der Gastgeber legt einen Bierdeckel auf die Öffnung des Glases und dreht es um. Die Spitze des Glas-Kegels zeigt jetzt nach oben. Wie hoch steht jetzt der Martini (bezogen auf die Höhe des Glas-Kegels)?

d) Bearbeiten Sie die Aufgabenteile a) bis c) für ein zylinderförmiges 0,4-Liter-Bierglas.

Answer 1

a) Ein kegelförmiges Sektglas wird bis zur halben Höhe mit Martini gefüllt. Wie viel Martini befindet sich im Glas? Geben Sie das Ergebnis als Anteil, bezogen auf das Gesamtvolumen des Glases, an.

Das Gesamtvolumen ist

VG = 1/3 * G * H = 1/3 * pi * r^2 * h

Wird es bis zur halben höhe gefüllt ist die Höhe nur noch halb so groß und auch der Radius ist halb so groß.

V = 1/3 * G * H = 1/3 * pi * (r/2)^2 * (h/2) = 1/8 * 1/3 * pi * r^2 * h = 1/8 * VG

Es befindet sich also 1/8 des Gesamtvolumens im Glas

b) Das Sektglas soll nun so gefüllt werden, dass die Hälfte seines Volumens Martini enthält. Wie hoch steht der Martini? Geben Sie das Ergebnis als Anteil, bezogen auf die Höhe des Glas-Kegels, an.

Wie wir eben in a) gesehen haben ist wenn wir das Glas zur Hälfte füllen (1/2)^3 = 1/8 des Volumens enthalten.

nun muss also gelten

k^3 = 1/2
k = 2^{-1/3} = 0.7937005259

Damit müssen wir das Glas bis ca. 79% der Höhe füllen.

c) Wir betrachten nun wieder das gefüllte Glas aus Aufgabe a). Der Gastgeber legt einen Bierdeckel auf die Öffnung des Glases und dreht es um. Die Spitze des Glas-Kegels zeigt jetzt nach oben. Wie hoch steht jetzt der Martini (bezogen auf die Höhe des Glas-Kegels)?

Ok. Wir wissen das das Glas zu 1/8 gefüllt war. D.h. 7/8 waren Luft. Wenn wir das Glas jetzt umdrehen fragen wir wie hoch der Luftkegel ist der das Glas zu 7/8 füllt.

k^3 = 7/8
k = (7/8)^{1/3} = 0.9564655913 = 95.65%

Die Luft füllt dann ca. 95.65% der Höhe. Da.h. der Martini füllt jetzt 4.35% der Höhe.

d) Bearbeiten Sie die Aufgabenteile a) bis c) für ein zylinderförmiges 0,4-Liter-Bierglas.

Schaffst du das mit dem Zylinder jetzt in ähnlicher Weise zu bearbeiten ?

Hier ist das deutlich einfacher.

Comments

Hi, ich verstehe leider nicht, wie man darauf kommt:

k3 = 1/2

k = 2^-1/3 = 0.7937005259

wofür genau steht k? und wo kommt die 2^-1/3 her?

---

Zum Bierkrug:


a) Wenn der Krug max. 0,4l fasst und er zur Hälfte gefüllt ist, sprich 1/2h, dann müssten noch 0,2l drin sein oder irre ich mich da?

b) Die Hälfte von V müsste auch die Hälfte von h sein, sprich h=1/2

c) An der Füllmenge änder sich nichts, wenn man das Glas umdreht, deshalb h = 1/2


Stimmt das, oder habe ich da etwas übersehen?

---

k ist der Füllfaktor oder Verkleinerungsfaktor, wenn man den gefüllten Teil als kleinen eigenständigen Kegel betrachtet.
Wenn k also 1/2 ist füllen wir das Glas zur Hälfte, ist k 1/3 füllen wir das Glas zu 1/3 etc.

Wenn k = 1/2 dann ist k^3 = 1/8 bedeutet, wenn das Glas zur Hälfte Gefüllt ist haben wir 1/8 des Volumens.

Wenn k = 1/3 dann ist k^3 = 1/27 bedeutet, wenn das Glas zur Hälfte Gefüllt ist haben wir 1/27 des Volumens.

Das Volumen soll aber 1/2 sein. Also k^3 = 1/2. Nun frage ich nach dem k. Wie groß ist k damit k^3 = 1/2 ist.

Dazu löst man die Gleichung k^3 = 1/2 indem man die 3. Wurzel zieht.

k^3 = 1/2
k = 3.Wurzel(1/2) = (1/2)^{1/3} <-- Letzteres ist nur die Potenzschreibweise, weil das hier besser aussieht.
k = 0.7937 = 79.37%

Damit wissen wir das wir das Glas von der Höhe zu fast 80% füllen müssen, damit es mit der Hälfte vom Volumen gefüllt ist.

Das ist anders wie beim Zylinder. Füllt man ein Zylinder zur Hälfte hat man die Hälfte des Volumens. Füllt man den Zylinder zu 80% hat man 80% des Volumens.

---

Was die Aufgabe zum Bierkrug betrifft sind deine Überlegungen vollkommen richtig.

Answer 2

a) Der Martinikörper des bis zur halben Höhe gefüllten Glases ist gegenüber dem Glaskegel um den Faktor k gestreckt. Dies bewirkt eine Ver-k^3-fachung der Volumina.

b) Um einen ähnlichen Körper mit dem k-fachen Volumen zu bekommen, muss der ursprüngliche Körper um den Faktor k^{1/3} gestreckt werden. Das Glas muss also bis zum k^{1/3}-Fachen seiner Höhe gefüllt werden.

c) Das luftgefüllte Restvolumen ist das (1-k^3)-fache des Glasvolumens. Es hat die Form eines zum Glaskegel ähnlichen Kegels mit der (1-k^3)^{1/3}-fachen Glashöhe. Die Martinihöhe beträgt daher das (1-(1-k^3)^{1/3})-Fache der Glashöhe.

Comments

Kannst du deine Antworten einmal genauer erklären?
Kann die Lösung leider nicht nachvollziehen!

---

zu a) Werden alle Längen eines Körpers verdreifacht (k=3), ist der dadurch entstehende Körper zu dem ursprünglichen Körper ähnlich. Die Oberfläche erweist sich als verneunfacht (k^2=3^2=9), das Volumen als versiebenundzwanzigfacht (k^3=3^3=27).

In Deiner Aufgabe a) werden alle Längen halbiert, d.h. es ist hier k=1/2. Damit müsstest Du nun eigentlich a) bearbeiten können.