Berechnen Sei die Abmessungen und die Oberfläche zuerst allgemein und dann für V = 66,096 * π dm3

Question

Aufgabe:

Extremwertaufgabe, Berchnung der minimalen Oberfläche

Problem/Ansatz:

Ein rotationssymmetrischer Schwimmkörperhat die Form eins Zylinders mit zwei aufgesetzten Kugelsegmenten; die Basiskreise der Kugelsegmente sind der Deck-,bzw. der Grundkreis des Zylinders; die Höhe der Kugelsegmente ist der halbe Zylinderradius. Brechnen Sie die Abmessungen, damit bei gegebnem Volumen V die erforderlicheBlechmenge ein Minimum wird. Berechnen Sei die Abmessungen und die Oberfläche zuerst allgemein und dann für V = 66,096 * π dm3

Ich bin es mal so angegangen: O(r,h)= (9*pi*r²)/2 + 2*pi*r*h

für h = (24*V-13r³ * pi)/(24*pi*r² )

h krieg duch die Summe der Volumen V=2V_Kreissegment + V_Zylinder

Ich setze h in der funktion O(r,h) habe so dann O(r), leite dass dann ab aber bekomm wenn ich den Punkt der ersten Ableitung in die zweite einsetz dass O''(r)<0 ist. Heisst das nicht ich kriege somit die Maximale Oberfläche für dieses Volumen ich weiss leider nicht was ich falsch habe

Answer 1

V = 4/3·pi·r^3 + pi·r^2·h --> h = V/(pi·r^2) - 4/3·r

O = 4·pi·r^2 + 2·pi·r·h
O = 4·pi·r^2 + 2·pi·r·(V/(pi·r^2) - 4/3·r)
O = 4·pi·r^2/3 + 2·V/r

O' = 8/3·pi·r - 2·v/r^2 = 0 → r = \( \sqrt[3]{3·v/(4·pi)} \)

Das jetzt in die Formel für h einsetzen und man erhält!

h = 0

Merke: Seifenblasen sind nicht zylinderförmig mit 2 aufgesetzten Halbkugeln, sondern kugelförmig, weil eine Kugel bei gegebenem Volumen die kleinste Oberfläche hat.