Extremwertaufgabe kleinstmögliche Oberfläche nur V gegeben.

Question

Wir müssen aus einer quadratischen Pyramide mit dem Volumen von 1000cm^3 die kleinste mögliche Oberfläche berechnen.

Answer 1

Nebenbedingung

V = 1/3·a^2·h
h = 3·V/a^2

Hauptbedingung

O = 2·a·√((a/2)^2 + h^2)
O^2 = 4·a^2·((a/2)^2 + h^2)
O^2 = a^4 + 4·a^2·h^2
O^2 = a^4 + 4·a^2·(3·V/a^2)^2
O^2 = (a^6 + 36·V^2)/a^2
(O^2)' = 4·(a^6 - 18·V^2)/a^3 = 0
a^6 - 18·V^2 = 0
a = (18·V^2)^{1/6}

Comments

O  =  M + G   ?

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Was ist dann O als Zahl?

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@ii214
Der Mathecoach hat nur die 4 Seitenflächen der Pyramide als
Oberfläche angesetzt.

Richtiger wäre : 4 Seitenflächen + Grundfläche ( a^2 )

Falls dir die Antwort des Mathecoachs
a = (18·V²)^1/6 genügt ,
wäre für V = 1000 cm^3 die Oberfläche
a = (18·1000²)^1/6
a = 16.19 cm
h = 3·V/a²
h = 11.45 cm
s = √ ( 8.095^2 + 11.45^2)
s = 14.02 cm
O = a * s / 2 * 4
O = 453.97 cm^2

Soll die Grundfläche auch berücksichtigt werden müssen
noch einmal ran.

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Ja. Ich habe versehentlich nur mit dem Mantel gerechnet, weil ich vorgestern gerade so eine Zeltaufgabe hatte und da war der Mantel also die Zeltplane zu optimieren.

Hier ist aber auch die Grundseite hinzuzunehmen.

Ich habe das Ganze also eben nochmals nachgerechnet.

Meine alte Lösung: https://www.matheretter.de/rechner/pyramide?a=16.19&h=11.45

Meine neue Lösung: https://www.matheretter.de/rechner/pyramide?a=14.25&h=14.78

Auf Bedarf kann ich meine neue Lösung auch noch einstellen. Aber vielleicht ist das ein Anreiz für den ein oder anderen es auch noch mal zu probieren.

Zu minimieren ist also

O = a^2 + 2·a·√((a/2)² + h²) 

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a=12,8 cm ist zumindest besser (und schon fast das Optimum)

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Warum a = 12.8 cm? Woher hast du jetzt den Wert?

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Es ist nur eine Näherung aus   h  =  (6V)^1/3