Extremwertaufgabe: oben geschlossene Blechbehälter (Form: quadratisches Prisma) mit V= 4 l und minimaler Oberfläche.

Question

Es sollen oben geschlossene Blechbehälter in Form von quadratischen Prismen hergestellt werden, die ein Fassungsvermögen von V=4Liter haben. Wie sind die Blechbehälter zu dimensionieren, damit der Materialverbrauch minimal ist ??

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Ein vorgerechnetes einfaches Beispiel einer Extremwertaufgabe findest du z.B. hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Extremwertaufgabe#Anwendungsbeispiel

Answer 1

Sei a die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche des Prismas.

Dann gilt als Nebenbedingung:

V = a ² * h ( a ) = 4

<=> h ( a ) = 4 / a ²

Minimiert werden soll die Oberfläche O ( a ) des Prismas, für diese gilt:

O ( a ) = 2 * a ² + 4 * a * h ( a ) 

Nebenbedingung einsetzen:

O ( a ) = 2 * a ² + 4 * a * 4 / a ²

= 2 a ² + 16 / a

Ein Minimum kann nur an einer Stelle a vorliegen, an der die Ableitung von O ( a ) eine Nullstelle hat, also:

 

O ' ( a ) = 4 a - 16 / a ² = 0

<=> 4 a = 16 / a ²

<=> 4 a ³ = 16

<=> a ³ = 4

<=> a = 4 ^{1 / 3}

Da die zweite Ableitung O ' ' ( a ) an der Stelle a = 4 ^{1 / 3} positiv ist (nachprüfen!), liegt an dieser Stelle tatsächlich ein Minimum der Oberfläche des Prismas vor. 

Für die Höhe h ( a )  des Prismas gilt an dieser Stelle:

h ( 4 ^{1 / 3} ) = 4 / a ² = 4 / 4 ^{2 / 3} = 4 ^{1 / 3}

Die Seitenlänge a des Prismas und seine Höhe sind also gleich, damit ist das Prisma ein Würfel mit der Kantenlänge a = 4 ^{1 7 3}. Und so muss es auch sein, denn bekanntlich hat ein Würfel von allen Quadern gleichen Volumens die kleinste Oberfläche. 

Comments

Tippfehlerkorrektur:

Die Kantenlänge des Würfels ist natürlich nicht a = 4 ¹⁷³  sondern a = 4 ^{1 / 3}  ... :-)

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Noch eine Ergänzung: Die Einheit von a ist dm, da 1 Liter = 1 dm^3

a=4^{1/3} dm = ca. 1.587 dm = 15.87 cm

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muss ich nun den wert von a in die Oberfläche einsetzen???

weil O muss ich auch berechnen

(6*3wurzel aus 16 quadratmetern) ich brauch bitte eine Skizze kann es mir nicht bildlich vorstellen Lg

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O = 6* (4^{1/3}) ^2 dm^2 = ca. 15.119 dm^2 = 1511.9 cm^2

Aufgabenstellung: Form von quadratischen Prismen. Das ist ein Säule mit quadratischer Grundfläche.

Resultat: Die Säule ist genau so hoch, wie eine Seite ihrer Grundfläche, also ein Würfel.

Das kannst du doch zeichnen. Oder?

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unter der 3ten wurzel sollte 16 stehen

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Richtig. oder über der 3. Wurzel noch ein Quadrat. Beachte die Einheit. Das gibt erst mal dm^2 .

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Ja, a ist die Kantenlänge des Prismas (Würfels). Um seinen Oberflächeninhalt zu berechnen kannst du entweder a in die Formel für O ( a ) einsetzen (die Formel findest du oben in meinem Beitrag):

O ( 4 ^{1 / 3} ) = 2 * ( 4 ^{1 / 3} ) ² + 16 / 4 ^{1 / 3} = 15,12 dm ² (gerundet)

oder du verwendest die allgemeine Formel für den Oberflächeninhalt eines Würfels, nämlich:

O ( a ) = 6 * a ²

mit a = 4 ^{1 / 3} :

O ( 4 ^{1 / 3} ) = 6 * ( 4  ^{1 / 3} ) ²  = 6 * 4 ^{2 / 3}  = 15,12 dm ² (gerundet)

 

Wofür brauchst du eine Skizze? Was genau kannst du dir nicht bildlich vorstellen?