Beweise: Es gibt keine positiven ganzen Zahlen x und y (also in Z>0), sodass x^2 − y^2 = 1.

Question

Aufgabe:

Beweise:

Es gibt keine positiven ganzen Zahlen \(x\) und \(y\) (also in \(\mathbb{Z}>0\)), sodass \(x^{2} − y^{2} = 1\).

Problem/Ansatz:

Wie kann ich das mit welchem Beweis beweisen?

Danke im Voraus

Comments

Vlt: kann jemand das x2 und y^2 zu x^2 und y^2 verbessern.

Es ist irritierend.

Answer 1

Anwendung der 3. binomischen Formel \(x^2-y^2=(x+y)(x-y)\).

Schlussfolgerungen darfst du selbst aufstellen.

Answer 2

@Apfelmännchens Lösungsvorschlag ist wahrscheinlich der eleganteste.

Es geht aber auch so:

Offenbar muss \(x>y\) gelten. Also

\(x=y+k\) für ein \(k\geq 1\).

Nun gilt aber

$$x^2-y^2 = (y+k)^2-y^2 = 2ky+k^2 > 1$$

Das ist ein Widerspruch.

Comments

Warum ist dies denn ein Widerspruch?

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Das ist ein Widerspruch zu der Annahme, es gäbe positive ganze Zahlen mit

\(y^2-x^2 = 1\),

da die Differenz \(y^2-x^2\) laut obiger Rechnung immer größer als 1 ist.

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Du meinst x^2 - y^2=1?!

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Ja. Genau. :-)

Ich meinte \(x^2-y^2=1\).

Leider kann ich hier nach einer Weile meine Kommentare nicht korrigieren.

Ich hab oben gezeigt, dass die Differenz zweier Quadrate solcher ganzen Zahlen x und y immer größer als 1 sein muss.

Also kann es keine positiven ganzen Zahlen x,y mit \(x^2-y^2=1\) geben.