Es gibt keine positiven Zahlen x und y mit x 2 − y 2 = 1 , Wie löse ich die Aufgabe

Question

Aufgabe 1 Man formalisiere folgende Aussage und beweise sie:

 (a) Es gibt keine positiven Zahlen x und y mit x 2 − y 2 = 1.

Wie löse ich diese Aufgaben ? ich hatte in der Vorlesung recht simple sachen

Comments

Es ist \(1{,}25^2-0{,}75^2=1\). Meinst du vielleicht ganze positive Zahlen?

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Okay, aber wie beweißt man das ? ^^

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Verwende die dritte binomische Formel. \(1=x^2-y^2=(x-y)\cdot(x+y)\).

Answer 1

$$x^2-y^2=1 \Rightarrow (x-y)(x+y)=1$$ Wir suchen x und y sodass $$x-y=1 \text{ und } x+y=1$$ Wenn man diese zwei Gleichungen addiert bekommt man $$2x=2 \Rightarrow x=1$$ und wenn man die eine von der andere Gleichung subtrahiert bekommt man $$2y=0 \Rightarrow y=0$$ 
Also die ganzzählige Lösung ist (x,y)=(1,0). 
Diese Lösung ist aber nicht positiv. 
Also gibt es keine ganzzählige positive x und y die die Gleichung x² - y² =1 erfüllen.