Alle möglichen α,β für das inhomogene LGS angeben.

Question

Alle möglichen α,β für das inhomogene LGS angeben.

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe, an der ich momentan einfach nicht weiterkomme:

Ich habe bereits wie in der Aufgabenstellung eine Matrix definiert:

$$\begin{pmatrix} 2 & α \\ β & 4 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Dadurch kam ich auf folgendes LGS:

$$2a+αc=1\\ 2b+αd=0\\ β4+4b=0\\ βb+4d=1$$

Ich weiß, dass das Gaußverfahren hier eine Rolle spielen muss, weiß aber absolut nicht wie ich dieses anwenden soll.

Danke im Voraus!

Text erkannt:

Seien $ \alpha, \beta \in \mathbb{R} $. Wir betrachten die Matrizen
$ M:=\left(\begin{array}{cc} 2 & \alpha \\ \beta & 4 \end{array}\right), \quad \mathbb{1}_{2}:=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \in \operatorname{Mat}(2 \times 2, \mathbb{R}) . $
a) Bestimmen Sie alle $ \alpha, \beta \in \mathbb{R} $, sodass eine Matrix $ X \in \operatorname{Mat}(2 \times 2, \mathbb{R}) $ mit $ M \cdot X=\mathbb{1}_{2} $ existiert. Interpretieren Sie dazu die Einträge von $ X $ als 4 Variablen und die Gleichung $ M \cdot X=\mathbb{1}_{2} $ als inhomogenes LGS. Bestimmen Sie alle solche $ X $ für $ \alpha=\beta=-3 $.
b) Sei $ n \in \mathbb{N} $ und $ A \in \operatorname{Mat}(n \times n, \mathbb{R}) $. Die Matrix $ \tilde{A} \in \operatorname{Mat}(n \times n, \mathbb{R}) $ entstehe aus $ A $ durch elementare Zeilenumformungen und habe Zeilenstufenform. Zeigen Sie: Gilt $ \widetilde{A}_{i i} \neq 0 $ für alle $ i=1, \ldots, n $, so ist das LGS $ A \cdot x=b $ für alle $ b \in \mathbb{R}^{n} $ lösbar. Wie viele Lösungen gibt es?