Question

Wie bringe ich folgendes Gleichungssystem auf Zeilenstufenform in erweiterter Koeffizientenmatrix (A|b)? Was ist der Rang in Abhängigkeit von t und was ist die Lösungsmendg in Abhängigkeit von t?

x₁+2x₂+3x₃+4x₄=5

x₁+x₃+(x₂+x₃+2x₄)t=5

2x₁+6x₃+8x₄+x₂t²=10

4x₂+x₃-x₂t=0

Vielen Dank schonmal!

Answer 1

1   2      3        4     5
1   t     t+1     2t    5     
2   t^2    6       8     10
0  4-t     1       0      0

2. Zeile minus erste und

3. Zeile minus 2*erste

1  2        3        4       5
0  t-2      t-2    2t-4    0   
0  t^2-4    0      0       0
0  4-t      1      0      0

Für t=2 gibt es 2 Nullzeilen
(2. und 3.) also ist dann rang 2.

Lösungsmenge ist dann

x4=s x3=u x2=-u/2   x1=5-2u-4s

Also L = {(5-2u-4s; -u/2 ; u ; s ) | s,u ∈ ℝ}

Für t=-2 eine 0-Zeile:

1  2        3      4      5
0  -4      -4     -8     0 
0    0      0       0      0
0    6      1       0      0

also rang=3 und

L={  5+12s ; 2s ; -12s ; 5s ) | s ∈ ℝ  }

Für alle anderen t ist rang=4 und

L={(5;0;0;0) }

Comments

Guckst Du

\(\small t = -2,\\ A_{RRef}= \left(\begin{array}{rrrrr}1&0&0&\frac{-12}{5}&5\\0&1&0&\frac{-2}{5}&0\\0&0&1&\frac{12}{5}&0\\0&0&0&0&0\\\end{array}\right),\\ X_{mathef} = \left(\begin{array}{r}12 \; s\\2 \; s\\-12 \; s\\5 \; s\\\end{array}\right), \\ A \ X_{mathef}= \left(\begin{array}{r}0\\0\\0\\0\\\end{array}\right)\)

> Für alle anderen t ist rang=5< ?

---

Danke für den Hinweis.

Bei 4 Zeilen wird das mit rang=5 wohl

schwierig. Sollte 4 heißen.

Und bei dem einen Lösungsvektor war

mir die 5 abhanden gekommen.

Jetzt ist hoffentlich alles richtig.