Gauß-Verfahren in Matrixform die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystem

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie mit dem Gauß-Verfahren in Matrixform die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystem.

\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -1 & 0 & 0 & | & 0\\ 1 & 2 & 0 & 2 & 0 & 1 & | & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 2 & 1 & 1 & | & 2 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Also ich weiß nicht ganz weiter, weil die 6 Spalten hat und ich weiß nicht wie ich das auf die Stufenform bringen soll. Ich hoffe jemand kann mir weiter helfen.

Danke

Answer 1

Hallo,

die zweite und dritte Zeile sehen doch im ersten Teil sehr gleich aus. Ziehe daher die zweite von der dritten ab:$$\begin{array}{cccccc|c}1& 2& -1& -1& 0& 0& 0\\ 1& 2& 0& 2& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 1\end{array}$$und nun die erste von der zweiten, so dass in der ersten Spalte die \(0\) stehen bleibt:$$\begin{array}{cccccc|c}1& 2& -1& -1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 3& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 1& 0& 1\end{array}$$damit ist eine Stufenform bereits erreicht. Nun kann man noch auf die erste die zweite Zeile addieren, so dass die dritte Koordinate der ersten Zeile zu \(0\) wird$$\begin{array}{cccccc|c} \colorbox{yellow}1& 2& 0& 2& 0& 1& 1\\ 0& 0& \colorbox{yellow}1& 3& 0& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& \colorbox{yellow}1& 0& 1\end{array}$$Die \(1\)'en, die die 'Stufen' bilden, habe ich markiert. Sind die Parameter \(x_1\) bis \(x_5\), so ist $$x_5 = 1$$\(x_2\), \(x_4\) und \(x_6\) sind frei wählbar. Ich setze \(x_2=r\) und \(x_4=s\) und \(x_6=t\), dann ist $$x_1 + 2r + 2s + t = 1 \implies x_1 = 1-2r-2s-t \\ x_3 + 3s + t = 1 \implies x_3 = 1 - 3s - t$$und in Vektorschreibweise wird daraus$$\vec x = \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\\ 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-2\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}r + \begin{pmatrix}-2\\ 0\\ -3\\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}s + \begin{pmatrix}-1\\ 0\\ -1\\ 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}t$$

Comments

Danke für deine ausführliche Antwort. Ich habe allerdings noch eine Frage. Woher weiß man, welche freien Varaiablen sind?

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Woher weiß man, welche freien Varaiablen sind?

ganz lax gesagt: die Spalten, die keine Stufen sind. Augenblick bitte ....

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Die Parameter, die für die Spalten stehen, in denen keine 'Stufen-1' vorkommt, sind frei wählbar. Ich habe diese 'Stufen-1'en oben gelb markiert.

Fange einfach unten rechts in dem Gleichungssystem an. Dort steht$$1 \cdot x_5 + 0 \cdot x_6 = 1$$Vergebe nun die frei wählbare Paramter von rechts nach links. Also hier$$x_6 = t$$Dann lässt sich \(x_5\) berechnen (geht hier konkret auch ohne \(t\), aber allgemein)$$\implies x_5 = 1 - 0 \cdot t$$Der nächste Kandidat ist \(x_4\). Die 4.Spalte hat keine 'Stufen-1' - also setze \(x_4=s\) und aus der zweiten Zeile folgt$$x_3 + 3s + t = 1 \implies x_3 = 1 - 3s - t$$usw.