Welche Grenzwerte ergeben sich?

Question

Kann mir wer bei folgenden Grenzwerten helfen?
Besten Dank und Lg.

Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
(a) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2 n}\right)^{n+1} \)
(b) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2 n-1} \)
(c) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n} \)

Answer 1

Aloha :)

(a) und (b) laufen beide nach dem gleichen Prinzip:$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{\frac12}{n}\right)^{n}\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2n}\right)=e^{\frac12}\cdot1=\sqrt{e}$$$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{2n-1}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{-2}{2n}\right)^{2n}\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\left(1-\frac1n\right)}=e^{-2}\cdot1=\frac{1}{e^2}$$

Bei (c) nutzen wir aus, dass die bekannte Folge \(\left(1+\frac1n\right)^n\) streng monoton wächst und "von unten her" gegen \(e^1=e\) konvergiert, dass also gilt:$$\left(1+\frac1n\right)^n<e\quad\text{für }n\in\mathbb N$$Daraus schließen wir:$$1<\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n=\left(\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right)^{\frac1n}<e^{\frac1n}\to e^0=1$$Nach dem Sandwich-Theorem ist daher:$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n=1$$

Comments

Besten Dank für die Antwort. a und b sind klar. ist dasselbe vorgehen.
Bei c) Blick ich noch nicht ganz durch. Sandwich-Theorem heißt ja an<=bn<=cn und an und cn haben denselben Grenzwert dann hat bn denselben Grenzwert wie an bzw. cn.

Bzw. versteh ich diese Zeile nach: Darauß schließen wir nicht.

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Ja genau! Wir konnten die Folge zwischen \(1\) und \(e^{1/n}\) "einsperren". Und der Grenzwert von \(e^{1/n}\) ist \(1\).

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kann ich da einfach annehmen das

\( 1<\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}= \)

gilt?

Und warum ist

\( =\left(\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n^{2}}\right)^{\frac{1}{n}}<e^{\frac{1}{n}} \)

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Versteh jetzt den ersten Teil. an zum Beispiel = 1 dann wäre das immer kleiner als die Folge.

Nur der zweite Teil ist mir schleierhaft?

\( =\left(\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n^{2}}\right)^{\frac{1}{n}}<e^{\frac{1}{n}} \)

Irgendwie muss ich auf
\( \left(\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n^{2}}\right) = bzw < e \)

kommen oder?. Bzw. muss das kleiner sein als e

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$$\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n}=\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2\cdot\pink{\frac1n}}=\left(\underbrace{\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}}_{<e}\right)^{\pink{\frac1n}}<e^{\pink{\frac1n}}$$

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Aber warum ist das kleiner als e ?

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Bei dieser Aufgabe geht es offenbar um die Nutzung des Grenzwertes:$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac xn\right)^n=e^x$$In der Vorlestung wurde betimmt gezeigt, dass die Folgen \(a_n=\left(1+\frac1n\right)^n\) streng monoton wächst \((a_{n+1}>a_n)\) und gegen den Grenzwert \(e\) konvergiert.

Mit anderen Worten, dass \(\left(1+\frac1n\right)^n<e\) gilt, kannst du als bekannt voraussetzen.

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Kann ich also so argumentieren das n² = m und m dann ja auch ein Element der natürlichen Zahlen ist weswegen dann \(\left(1+\frac1m\right)^m<e\) gilt?

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Ja genau so, denn diese Beziehung \(\left(1+\frac1m\right)^m<e\) gilt ja für alle \(m\in\mathbb N\), insbesondere also für \(m=n^2\).

Answer 2

\(\left(1+\frac{1}{2 n}\right)^{n+1} = \left(1+\frac{1/2}{n}\right)^n\cdot \left(1+\frac{1}{2 n}\right)\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}\mathrm{e}^{\frac{1}{2}}\cdot 1\)

Comments

Danke für die schnelle Antwort. Die anderen gehen wahrscheinlich ähnlich oder?