Aufgabe:
Text erkannt:
Definition. Für positive Zahlen \( a, b \in \mathbb{R} \) definiert man das arithmetische, das geometrische und das harmonische Mittel durch
\( A(a, b):=\frac{a+b}{2}, \quad G(a, b):=\sqrt{a b} \quad \text { und } \quad H(a, b):=\frac{1}{A\left(\frac{1}{a}, \frac{1}{b}\right)}=\frac{2 a b}{a+b} \text {. } \)
Text erkannt:
Aufgabe \( 2((1+4+3)+2 \) Punkte). Seien \( a, b \in \mathbb{Q} \) mit \( 0<a<b \). Wir definieren \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) rekursiv durch \( a_{1}:=a, b_{1}:=b \) sowie
\( a_{n+1}:=H\left(a_{n}, b_{n}\right) \text { und } b_{n+1}:=A\left(a_{n}, b_{n}\right) \text { für alle } n \in \mathbb{N} \text {. } \)
(a) Zeigen Sie:
(i) Für alle \( n \in \mathbb{N} \) sind \( a_{n} \) und \( b_{n} \) rationale Zahlen.
(ii) Die Folge \( \left(I_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( I_{n}:=\left[a_{n}, b_{n}\right] \) ist eine Intervallschachtelung: Für alle \( n \in \mathbb{N} \) ist \( I_{n} \supseteq I_{n+1} \) und es gilt \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left|I_{n}\right|=0 \).
(iii) Für den Schnitt über alle Intervalle \( I_{n} \) gilt \( \bigcap_{n \in \mathbb{N}} I_{n}=\{\sqrt{a b}\} \).
Hinweis: Was passiert mit \( G\left(a_{n}, b_{n}\right) \) im Laufe der Iteration?
(b) Finden Sie mit Hilfe der obigen Konstruktion eine rationale Zahl \( x \) mit der Eigenschaft \( |\sqrt{2}-x|<10^{-3} \). Rechnen Sie dabei nur mit rationalen Zahlen! Begründen Sie, warum Ihre gefundene Zahl \( x \) die geforderte Eigenschaft hat.
Ich bräuchte hier mal Hilfe.
Kann ich bei a) i) eine vollständige Induktion machen und für a und b "p/q" mit (p, q ∈ ℤ) substituieren und dann begründen dass eine rationale Zahl vorliegt? Und wie zeige ich dass bei a) ii) das intervall immer kleiner wird? Da auch vollständige induktion
LG
