Wurzel(c) ist das einzige Element vom Durchschnitt aller Intervalle [a(n), b(n)]

Question

ich hadere mit Teilaufgabe (c). Laut Tipp ist ja der Widerspruchsbeweis günstig.

Also habe ich angenommen, dass ein x>√c, also √c + ε mit ε>0 auch ein Element von ∩_n€ℕ[a_n,b_n] ist. Dann müsste ja auch gelten a_n <√c + ε < b_n.

Dann habe ich gezeigt, dass √c + ε ≤ b_n durch Umformen irgendwann einen Widerspruch ergibt, und zwar diesen:

ε ≤ (a₀-b₀)/2 weil der rechte Teil >0 wegen a_n<b_n und ε>0.

Dann wollte ich zeigen, dass √c + ε ≥ a_n auch einen Widerspruch ergibt. Hier schaffe ich es aber nicht, diesen zu zeigen.

Anschließend wollte ich analog zeigen, dass es auch kein x<√c, also √c - ε mit ε>0 gibt.

Kann mir freundlicherweise jemand auf die Sprünge helfen?

Vielen Dank
Melanie

Answer 1

Ich würde es eher so versuchen:

Wären zwei verschiedene Zahlen x und y in allen Intervallen [ a_n ; b_n ]  .

Dann wäre | x-y | = eps > 0 .

Also wäre für alle n    b_n - a_n   ≥ eps .

Wegen b)  ist aber    b_n - a_n  ≤   ( b₁ - a₁ ) /  2^n-1   Demnach gäbe es ein

positives eps mit  eps ≤   b_n - a_n  ≤   ( b₁ - a₁ ) /  2^n-1  

          also auch      eps  ≤   ( b₁ - a₁ ) /  2^n-1  

            und  damit     2^n-1   ≤   ( b₁ - a₁ ) * eps.

Da aber   2^n-1 jede vorgegebene Zahl für hinreichend

große n überschreitet:  Widerspruch!
   

Comments

Erstmal vielen Dank für deine Antwort.

          also auch      eps  ≤   ( b₁ - a₁ ) /  2^n-1  

            und  damit     2^n-1   ≤   ( b₁ - a₁ ) * eps.

Die Umformung ist aber nicht korrekt, oder?