Bestimmen sie die reelle Zahl x aus dem Intervall der Folgen [ak, bk] für alle k aus N

Question

Aufgabe:

$$\text{Seien } a_0 \land b_0 \text{ reelle Zahlen mit } 0 \lt a_0 \lt b_0 \text{ und sei } \\ (a_{k+1}:= \frac{2a_kb_k}{a_k+b_k} )\land (b_{k+1}:=\frac{a_k+b_k}{2}) \forall k \in \mathbb{N} \\[5pt]\text{Bestimmen sie die reelle Zahl x }: x \in [a_k,b_k] \forall k \in \mathbb{N}$$

x ist eine reelle Zahl aus dem Intervall der beiden Folgen. Aber wie genau bestimme ich x? Falls es relevant ist, ich habe schon gezeigt, dass a_k und b_k eine Intervallschachtelung ist.

Answer 1

Zeigen Sie, dass a_k * b_k konstant ist.Somit kann man a_(k+1) allein von a_k abhängig darstellen, da diese Folge monoton steigend und beschränkt ist, konvergiert sie.Wenn eine rekursiv definierte Folge konvergiert und die Funktion von der sie abhängt stetig ist, dann Folgt das der Grenzwert unter Anwendung der Funktion gleich bleibt (beweisen sie dies).
Nur eine positive Zahl bleibt unter dieser Funktion gleich.Machen Sie, dass gleiche bei der Folge b_k.
Da die Grenzwerte gleich sind und ,da [a_k, b_k] eine Intervallschachtelung ist folgt, dass der einzige Punkt in allen Intervallen der Grenzwert der Folgen ist.