Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl eine rationale Intervallschachtelung gibt

Question

Zeigen sie, dass es zu jedem x ∈ ℝ eine Intervallschachtelung I_n = (a_n , b_n)  gibt, derart, dass a_n , b_n  ∈ ℚ  und x in allen I_n  enthalten ist.

Answer 1

 jedem x ∈ ℝ eine Intervallschachtelung I_n = (a_n , b_n)  gibt, derart, dass a_n , b_n  ∈ ℚ  und x in allen I_n  enthalten ist.

jedes  x ∈ ℝ lässt sich als (unendliche) Dezimalzahl schreiben.

x = x0 + x1*10^{-1} + x2*10^{-2} + x3*10^{-3} + …

Nun konstruiere ich eine Intervallschachtelung. Indem ich sie angeben, habe ich bewiesen, dass es eine gibt.

Fall x > 0.

an = x0 + x1*10^{-1} + x2*10^{-2} …+ (xn-0.5)*10^{-n}

bn =   x0 + x1*10^{-1} + x2*10^{-2} …+ (xn+1)*10^{-n}

Überleg dir bis hierhin, ob das so klappt. und ergänze dann noch die Intervallschachtelungen für den Fall x= 0 und x<0.

Comments

Ist es für Fall x 0 bn= 0*0*10^-1+...=> 0 Wäre das so richtig?

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Du brauchst für jedes Intervall ein an und ein bn, wobei an < bn.

Fall x = 0.

an = 0 + 0*10^-1 + 0*10^-2 …+ (-1)*10^-n

bn =  0 + 0*10^-1 + 0*10^-2 …+ (1)*10^-n

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Ja das meinte ich ja,hat mit dem Posten nur irgendwie nicht geklappt. Dann ist für x

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Du hast jeweils ein paar Minuten Zeit, um deinen Post zu überarbeiten :)

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Wieso klappt das nicht -.- Also An: -x-x*10^-1-...-1,5*10^-n BN: -x-...-1*10^-n Für x

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Machst du das am Handy?

 

x = x0 + x1*10^-1 + x2*10^-2 + x3*10^-3 + …

Nun konstruiere ich eine Intervallschachtelung. Indem ich sie angeben, habe ich bewiesen, dass es eine gibt.

Fall x < 0. Alle xi ≠ 0 seien negativ.

an = x0 + x1*10^-1 + x2*10^-2 …+ (xn-1)*10^-n

bn =   x0 + x1*10^-1 + x2*10^-2 …+ (xn+1)*10^-n

Ich teste das noch an einem Zahlenbeispiel.

-12,378

(-13, -11)

(-12- 0.4, -12 - 0.2)

(-12 - 0.3 - 0.08, -12 - 0.3 - 0.06) = (-12.38, -12.36) etc.

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Ja Es schluckt einfach die Hälfte von dem was ich schreibe

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Kann vorkommen, dass sich der Editor nicht richtig lädt. V.a. bei unstabiler Verbindung.

Hauptsache du schreibst alles auf das Blatt, das du dann abgibst.