Zeige die Potenzregeln x^r x^t = x^{t+r}, (x^r)^t = x^rt für rationale Exponenten

Question

Sei x ∈ ℝ und x > 0. Zeigen Sie, dass für r ∈ ℚ  und t ∈ ℚ  die folgenden 'Potenzregeln' gelten:

x^r x^t = x^t+r       ,        (x^r)^t = x^rt

Answer 1

i) x^r *x^t = x*,,*x ( r-mal multipl.) * x*...*x (t-mal multipl.)

x^r * x^t = x*...*x * x*...*x (r+t mal multipl.)

x^r * x^t = x^r+t


ii) (x^r)^t = (x*...*x (r-mal multipl.))^t

(x^r)^t = [x*...*x (r-mal multipl) *...*x*...*x (r-mal multipl) ] (t mal multipl)

(x^r)^t = x^rt

Comments

Das Problem ist hier, dass r und t gebrochene Zahlen (also Wurzeln) sein können. Wie würdest du das dann machen?

Beachte bei der Eingabe die Tücken der Caret-Umwandlung.

x^r * x^t = x ^ (r+t) 

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also  irgendwie komme ich nicht richtig drauf.

muss ich dann für r und t : √r und √t einsetzen?

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Wahrscheinlich dann mit 

x^r = x^p/q 
x^t = x^b/c  

Dann würde dort stehen: 

(x^r)^t = (x^p/q)^b/c 

Aber wie soll es dann weiter gehen?

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Zu zeigen: (x^r)^t=x^r*t

Voraussetzung:
r=p/q, t=b/c mit q und c ungleich 0 und wir dürfen die Potenzgesetze verwenden für ganze Zahlen.
x^r=(x^p/q)=q. Wurzel aus x^p.
x^t analog

für b ungleich 0 gilt:

(x^r)^t=(x^p/q)^b/c=c/b. Wurzel aus x^r=x^r*b/c=x^r*t

falls b=0 gilt t=0 und (x^r)^0=1, da für alle y gilt: y^0=1 und auch hier gilt x^r*0=x^0=1.

Bemerkung: Falls x=0 muss man aufpassen. Für den Beweis muss auch gefordert werden, dass sowohl r und t >=0 sind. Denn auch wenn r=t=-2 gilt zwar (0^{-2})^{-2}=0^4=0, aber 0^{-2} ist nicht definiert.

Answer 2

Ja, dieser Nachweis ist ein wenig umständlich.

Sei $$r = \frac{m}{n}\quad und \qquad   t = \frac{p}{q}$$

Gleichnamig gemacht:

$$r = \frac{mq}{nq}\quad \qquad  t = \frac{np}{nq}$$

Nun setzen wir:

$$w \coloneqq x^{\frac{1}{nq}}= \sqrt[nq]{x}$$

und können jetzt den Term $$x^r \cdot x^t$$  folgendermaßen schreiben:

$$x^r \cdot x^t = x^{ \frac{mq}{nq}}\cdot x^{ \frac{np}{nq}} = w^{mq} \cdot w^{np}$$

( mit ganzzahligen m,n,p,q ! )

Ich denke, dass die Fortsetzung bis zum angezielten Schlussterm  $$x^{r+t}$$

relativ einleuchtend sein sollte.

Der Weg für den Nachweis des anderen Gesetzes geht dann ganz analog !

Comments

Benutzt du im ersten Teil von

$$ x^\frac{mq}{nq} = (x^\frac{1}{nq})^{mq} = w^{mq} $$

nicht eigentlich etwas, was du beweisen sollst?

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Nein, durchaus nicht. Es wäre aber womöglich ein Schritt hilfreich, welcher schon bei der Definition von Potenzen mit rationalen Exponenten, also vor dem Schritt zu den hier besprochenen Rechengesetzen, gezeigt werden sollte:

Nämlich, dass die Definition von Potenzen mit gebrochenen Exponenten nicht in sich selbst widersprüchlich ist. Mit anderen Worten: man darf den Bruch, der im Exponenten steht, erweitern oder kürzen, ohne dass sich dabei der Wert der definierten Potenz (Wurzelausdruck) ändert !