Sei I ein Intervall f,g: I -> R stetig, Beweise f(x) = g(x) fuer alle x in I

Question

Hallo ich habe Problem bei folgender Aufgabe ich komme da einfach auf keinen Ansatz...

Sei I ein Intervall in ℝ, das mehr als einen Punkt enthaelt, und seinen f : I  → ℝ und g : I  → ℝ stetige Funktionen. Fuer alle x ∈ I ∩ ℚ sei f(x) = g(x).

Beweisen Sie, dass f(x) = g(x) für alle  x ∈ I gilt.

Comments

ℚ liegt dicht in ℝ, f und g sind stetig und in I ∩ ℚ gleich. Das sind die wesentlichen Zutaten.

Im Uebrigen verwendest Du das Wort "Ansatz" falsch. So etwas ist hier fehl am Platze.

---

Du kannst erst h(x) = f(x) - g(x) betrachten und mit Hilfe von https://www.mathelounge.de/79741/wenn-f-stetig-und-f-t-0-mit-t-aus-q-warum-auch-f-s-0-fur-s-aus-r zeigen, dass h(x) = 0 für alle x Element R.

Answer 1

Verwende:  Jede reelle Zahl lässt sich als GW. einer Folge rationaler Zahlen
darstellen ( etwa der nach jeder Stelle abgeschnittenen Dezimalbruchentwicklung).
Wegen der Stetigkeit ist der Funktionswert des Grenzwertes gleich dem

Grenzwert der Funktionswerte der Folgenglieder.  Bingo!