Sei I ein Intervall in R und seien f : I nach R und g : von I nach R stetige Funktionen Für alle x €

Question

Habe die folgende Aufgabe komme aber nicht sehr weit damit... ich wollte es versuchen als teilfolgen zu betrachten oder vielleicht als eine stetige fortsetzung an den stellen I \ Q

$$\\ Sei\quad I\quad ein\quad Intervall\quad in\quad R\quad ,\quad und\quad seien\quad f,\quad g\quad stetige\quad Funktionen\\ f\quad :\quad I\quad \rightarrow \quad R,\quad g\quad :\quad I\quad \rightarrow \quad R\quad \\ Für\quad alle\quad x\quad \in \quad I\quad \bigcap  \quad Q\quad gilt:\quad f(x)\quad =\quad g(x)\\ Beweisen\quad Sie,\quad dass\quad f(x)=g(x)\quad für\quad alle\quad x\quad \in \quad I\quad gilt.\\ \\ ------------------\\ ---------\\ g\quad :\quad I\quad \rightarrow \quad R\quad ,\quad x\quad \mapsto \quad \left\{ \frac { f(x)\quad |\quad x\quad \in \quad I\quad \bigcap  \quad Q }{ ??\quad |\quad ?\quad \in \quad I\quad \setminus \quad Q }  \right\} \\ \\ \\ \\ Sei\quad (a_{ n })\quad eine\quad Teilfolge\quad rationaler\quad Zahlen\quad in\quad I\quad \bigcap  \quad Q\quad \\ und\quad sei\quad (a_{ n })\quad konvergent\quad in\quad a.\quad \\ Dann\quad ist\quad \underset { x\quad \rightarrow \quad a }{ lim } f(a_{ n })\quad =\quad f(a)\quad =\quad g(a)\quad =\quad \underset { x\quad \rightarrow \quad a }{ lim } g(a_{ n })\\ \quad \\ Sei\quad a\quad \in \quad I\quad \setminus \quad Q\quad und\quad sei\quad (a_{ n }')\quad eine\quad Teilfolge\quad in\quad I\quad \setminus \quad Q\quad \\ und\quad dann\quad ist\quad (a_{ n }')\quad ebenfalls\quad konvergent\quad \\ in\quad a\quad mit:\\ \\ \underset { x\quad \rightarrow \quad a }{ lim } f(a_{ n })\quad =\quad f(a)\\ \underset { x\quad \rightarrow \quad a }{ lim } g(a_{ n })\quad =\quad f(a)\quad =\quad \underset { x\quad \rightarrow \quad a }{ lim } f(a_{ n })\\ \\ ??\\ \\ \\ \\ \\ \\ \ \\ $$

Comments

ich habe es nochmal geändert aber trotzdem glaube ich nicht das das eine antwort für die frage ist.... : (

$$ Sei\quad ({ a }_{ n })\quad eine\quad Folge\quad rationaler\quad Zahlen\quad die\quad gegen\\ a\quad \in \quad I\quad \setminus \quad Q\quad konvergiert.\quad Dann\quad ist:\\ \underset { n\quad \rightarrow \quad \infty  }{ lim } f({ a }_{ n })\quad =\quad f(a)\quad =\quad g(a)\quad =\quad \underset { n\quad \rightarrow \quad \infty  }{ lim } g({ a }_{ n })\\ und\quad \\ f(a)\quad =\quad g(a)\quad \in \quad I\quad \setminus \quad Q\\ \\ Da\quad f,\quad g\quad stetig\quad mit\quad f(x)\quad =\quad g(x)\quad in\quad I\quad \bigcap  \quad Q\quad ist,\quad \\ kann\quad f,\quad g\quad nicht\quad unstetig\quad in\quad I\quad \setminus \quad Q\quad sein.\\ \\ Da\quad f(a)\quad =\quad g(a)\quad \in \quad I\quad \setminus \quad Q\\ Dann\quad ist\quad wegen\quad Stetigkeit\quad auch\quad f(x)\quad =\quad g(x)\quad in\quad I\quad \setminus \quad Q.\\ ???\\ $$

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Du schreibst: Dann ist \(\lim f(a_n)=f(a)=g(a)=\lim g(a_n)\).

Wie begruendest Du das?

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wegen f(x) = g(x) sind die folgenglieder in f(a_n) = g(a_n) gleich und dann ist auch der grenzwert f(a_n) =  grenzwert g(a_n) ?

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Dann solltest Du es auch so aufschreiben, dass diese Pointe rueberkommt. Naechste Frage, warum existieren \(lim f(a_n)\) und \(\lim g(a_n)\) ueberhaupt?

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weil es folgen rationaler zahlen gibt die gegen (irgend)eine irrationale zahl konvergieren... wie zb e = grenzwert einer folge rationaler zahlen ist?

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Das erklaert \(a_n\to a\), aber nicht \(f(a_n)\to f(a)\).

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weil f  eine stetige funktion ist und vor allem in a stetig ist?

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Wie oben. Gehoert auch explizit erwaehnt. Dafuer kannst Du den ganzen konfusen Rest weglassen. Das Argument geht im Prinzip so:

\(\mathbb{Q}\) liegt dicht in \(\mathbb{R}\) und \(I\) ist ein Intervall. Deshalb gibt es zu jedem \(x\in I\) eine rationale Folge \((x_n)\) aus \(I\) mit \(x_n\to x\). Dann folgt mit den zwei beantworteten Rueckfragen von oben \(f(x)=g(x)\) für alle \(x\in I\). Das musst Du natuerlich noch ausformulieren.