Seien a, b ∈ ℝ, a < b, und f, g : [a, b] → ℝ stetige Funktionen?

Question

Hallo:)
Seien a, b ∈ ℝ, a < b, und f, g : [a, b] → ℝ stetige Funktionen, die in allen rationalenPunkten von [a, b] übereinstimmen. Zeigen Sie, dass dann  f = g gilt.
Bleibt das richtig, wenn man das Intervall [a, b] durch eine beliebige Teilmenge D ⊂ ℝ ersetzt?
Danke für die Hilfe!!

Answer 1

Für die rationalen ist es ja klar.

Sei x ein irrationaler Wert aus dem Intervall E, dann gibt es eine Folge von rationalen

Werten in E, die gegen x konvergiert. (Eigenschaft der reellen Zahlen).

wegne der Stetigkeit konvergieren die Folgen der Funktionswerte von f und g gegen

die Funktionswerte f(x) und g(x). Da die Folgenglieder alle gleich sind, sind

auch die Grenzwerte gleich, also f(x)=g(x).

wenn du kein Intervall hast, gibt es solche Folgen nicht unbedingt, also ist es im allg. falsch.

Nimm etwa als Gegenbeispiel die Teilmenge D = {0;1; wurzel(2)}

und f(x) = x   und g(x) = x^2   dann gilt f(0)=g(0) und f(1)=g(1)  aber f(wurzel(2)) ungleich g(wurzel(2)).