Gegeben sei eine stetige Funktion f:[0,1] → ℝ. Zeigen Sie, dass f([0,1]) nach unten beschrānkt ist.

Question

Gegeben sei eine stetige Funktion \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \). Zeigen Sie, dass \( f([0,1]) \) nach unten beschrānkt ist.

Problem:

Es ist nur ein Intervall gegeben und daher ist es schwer zu zeigen dass es nach unten beschränkt ist.

Answer 1

Die Funktion ist per definitionem Stetig. Nach den Sätzen über stetige Funktionen bilden dergleichen ein intervall immer auf ein Intervall ab. Das Intervall in Deinem f ist nach beiden Seiten abgeschlossen (siehe Notation von Intervallen) somit ist das Intervall im Wertebereich ebenfalls abgeschlossen und damit nach unten begrenzt.

Ansonsten schau Dir den Zwischenwertsatz zu stetigen Funktionen an und such Dir ggf. dazu den entsprechenden Beweis.