Endlich viele Nullstellen: {x1, x2, ..., xn}
ohne Einschränkung der Allgemeinheit sei xn die grösste dieser Nullstellen.
Berechne nun f(xn + 1) {muss ≠ 0 sien)
1. Fall f(xn + 1 ) > 0 , f fällt nicht mehr unter die x-Achse für grössere x.
==> mögliche negative Funktionswerte befinden sich in [0,xn]
Das ist ein abgeschlossenes Intervall. Eine auf einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion nimmt nur endliche Funktionswerte an. Sei z = min {f(x), 0< x<xn} . z-1 ist nun eine untere Schranke von f(x) qed 1. Fall
2. Fall f(xn + 1 ) < 0 , f steigt nicht mehr über die x-Achse für grössere x.
==> mögliche positive Funktionswerte befinden sich in [0,xn]
Das ist ein abgeschlossenes Intervall. Eine auf einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion nimmt nur endliche Funktionswerte an. Sei z = max { f(x), 0< x<xn} . z+1 ist nun eine obere Schranke von f(x) qed. 2. Fall
Anmerkung: Die Eigenschaften von stetigen Funktionen, die ich hier in ein paar Sätzen beschrieben habe, sollte bei euch im Skript bewiesen sein. Verweise auf die Nummerierung in eurem Skript.