f: [0, ∞) → R sei stetige Funktionen mit endlich vielen Nullstellen. Beh: f nach oben oder unten beschränkt.

Question

Aufgabe:

Sei \( f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \) eine stetige Funktion, die nur endlich viele Nullstellen hat. Zeigen Sie, dass \( f \) dann nach oben oder nach unten beschränkt sein muss.

Answer 1

Endlich viele Nullstellen: {x1, x2, ..., xn}

ohne Einschränkung der Allgemeinheit sei xn die grösste dieser Nullstellen.
Berechne nun f(xn + 1)            {muss ≠ 0 sien)

1. Fall f(xn + 1 ) > 0 , f fällt nicht mehr unter die x-Achse für grössere x.

==> mögliche negative Funktionswerte befinden sich in [0,xn]

Das ist ein abgeschlossenes Intervall. Eine auf einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion nimmt nur endliche Funktionswerte an. Sei z = min {f(x), 0< x<xn}  . z-1 ist nun eine untere Schranke von f(x) qed 1. Fall

2. Fall f(xn + 1 ) < 0 , f steigt nicht mehr über die x-Achse für grössere x.

==> mögliche positive Funktionswerte befinden sich in [0,xn]

Das ist ein abgeschlossenes Intervall. Eine auf einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion nimmt nur endliche Funktionswerte an. Sei z = max { f(x), 0< x<xn} . z+1 ist nun eine obere Schranke von f(x) qed. 2. Fall

Anmerkung: Die Eigenschaften von stetigen Funktionen, die ich hier in ein paar Sätzen beschrieben habe, sollte bei euch im Skript bewiesen sein. Verweise auf die Nummerierung in eurem Skript.

Comments

Und was ist vor der ersten Nullstelle ? Warum kann die Funktion nicht von - ∞ kommen und gegen ∞ gehen?

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Ok habs direkt selbst gemerkt, f(0) existiert ja, ist ein endlicher Wert.