Eine Möglichkeit ist, zu zeigen, dass wenn A nicht kompakt ist, dass es dann immer eine stetige Funktion \(f:A\rightarrow \mathbb R\) gibt, die unbeschränkt ist.
Das geht recht einfach, da die (euklidische) Norm \(||\cdot ||\) auf \(\mathbb R^n\) stetig ist.
Sei also A nicht kompakt. D.h. A ist nicht abgeschlossen oder nicht beschränkt (mindestens eines von beiden).
A nicht beschränkt:
Dann gibt es für jedes \(n\in \mathbb N\) ein \(x_n \in A\) mit \(||x_n||\geq n\). Definiere nun
\(f:A\rightarrow \mathbb R\) mit \(f(x) = ||x||\). Dann ist \(f\) offenbar stetig und unbeschränkt, da \(\lim_{n\to\infty}f(x_n) = \infty\).
A nicht abgeschlossen:
Dann gibt es einen Häufungspunkt \(x_0\) von \(A\), mit \(x_0 \not \in A\).
Es gibt also eine Folge \(x_n\in A\) mit \(\lim_{n\to\infty}x_n = x_0\). D.h.,
\(\lim_{n\to\infty}||x_n-x_0||=0\)
Betrachte nun \(f:A\rightarrow \mathbb R\) mit \(f(x) = \frac{1}{||x-x_0||}\). Diese Funktion ist stetig auf \(A\) und unbeschränkt, da \(\lim_{n\to\infty}f(x_n) = \infty\).
