A ist genau dann kompakt, wenn jede stetige Abbildung f : A → R beschrankt ist.

Question

Aufgabe:

Sei A ⊆ Rn ein Teilraum. A ist genau dann kompakt, wenn jede stetige Abbildung f : A → R beschrankt ist.

Die Hin-Richting ist ja durch Bolzano-Weierstraß einfach zu zeigen, aber bei der Rückrichtung habe ich noch keinen Ansatz. Ideen?

Answer 1

Eine Möglichkeit ist, zu zeigen, dass wenn A nicht kompakt ist, dass es dann immer eine stetige Funktion $f:A\rightarrow \mathbb R$ gibt, die unbeschränkt ist.

Das geht recht einfach, da die (euklidische) Norm $||\cdot ||$ auf $\mathbb R^n$ stetig ist.

Sei also A nicht kompakt. D.h. A ist nicht abgeschlossen oder nicht beschränkt (mindestens eines von beiden).

A nicht beschränkt:

Dann gibt es für jedes $n\in \mathbb N$ ein $x_n \in A$ mit $||x_n||\geq n$. Definiere nun

$f:A\rightarrow \mathbb R$ mit $f(x) = ||x||$. Dann ist $f$ offenbar stetig und unbeschränkt, da $\lim_{n\to\infty}f(x_n) = \infty$.

A nicht abgeschlossen:

Dann gibt es einen Häufungspunkt $x_0$ von $A$, mit $x_0 \not \in A$.

Es gibt also eine Folge $x_n\in A$ mit $\lim_{n\to\infty}x_n = x_0$. D.h.,

$\lim_{n\to\infty}||x_n-x_0||=0$

Betrachte nun $f:A\rightarrow \mathbb R$ mit $f(x) = \frac{1}{||x-x_0||}$. Diese Funktion ist stetig auf $A$ und unbeschränkt, da $\lim_{n\to\infty}f(x_n) = \infty$.

Answer 2

$f:\;A\rightarrow \mathbb{R}, \;x \mapsto \|x\|$ ist stetig ...