Wenn f gleichmäßig stetig ist, ist dann die Funktion auch beschränkt?

Question

Aufgabe:

Wenn f gleichmäßig stetig ist, ist dann die Funktion auch beschränkt?

Die Funktion geht von L einer beschränkten Teilmenge der reelen Zahlen auf R

Answer 1

Sei \(f\) gleichmäßig stetig.

Sei \(\varepsilon = 1\). Sei \(\delta > 0\) so dass

        \(\forall x_1,x_2\in L:\, |x_2-x_1| < \delta\implies |f(x_2)-f(x_1)| < \varepsilon\).

Dann lässt sich eine Obermenge von \(\operatorname{Bild} f\) als Vereinigung von \(\left\lceil\frac{\sup L - \inf L}{\delta}\right\rceil\) Intervallen der Länge \(\varepsilon\) schreiben.