Die gleichmäßige Stetigkeit lautet:
\( |f(x)-f(y)|<\varepsilon \quad \) für alle \( x, y \in D \) mit \( |x-y|<\delta \).
Die gleichmäßige Konvergenz lautet:
\( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) heißt gleichmäßig konvergent, wenn es \( f: D \rightarrow \mathbb{K} \) gibt, derart dass gilt: \( \forall \varepsilon>0 \exists n_{0} \in \mathbb{N}:\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon \) für alle \( n \geq n_{0}(\varepsilon) \) und alle \( x \in D \).
Folgende Implikationen sind mir auch noch bekannt (für den Fall, dass diese eine Role spielen):
\( f_{n} \rightarrow f \) gleichmäßig bei \( n \rightarrow \infty \Rightarrow f_{n} \rightarrow f \) punktweise bei \( n \rightarrow \infty \)
\( f_{n} \rightarrow f \) gleichmäßig auf \( D \Leftrightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left\|f_{n}-f\right\|_{\infty}=0 \)
Des weiteren weiß ich:
Stetige Funktionen sind auf kompakten Mengen gleichmäßig stetig. (Eine stetige Funktion \( f: D \rightarrow \mathbb{K} \) auf einer Kompakten Menge \( D \) in \( \mathbb{R} \) oder \( \mathbb{C} \) ist gleichmäßig stetig).
Wenn ich die ursprüngliche Angebe richtig verstehe, soll gezeigt werden, dass aus der glm Stetigkeit der Funktionenfolge die glm Stetigkeit von f gefolgert werden soll. Somit hoffe ich mal, dass ich mit meinen Gedanken / Wissen irgendwie richtig liege und ich nur nicht sehe, wie diese zusammengeführt werden ☺?
